Bài 103411

Question

$a)$ cho $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0$ và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < {90^o}$. Chứng minh rằng
$|\overrightarrow a + \overrightarrow b | > max \left\{ {|\overrightarrow a |,|\overrightarrow b |} \right\}$
$b)$ Trên nửa đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $1$ lấy $2n + 1$ điểm ${A_1},{A_2},...,{A_{2n + 1}}$. Chứng minh rằng: $|\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_{2n + 1}}} | \ge 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 3:12:23 PM

$a)$ ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$
Vì $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < {90^\circ } \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > 0$, do đó:
            $\begin{array}{l}
{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} > \max \left\{ {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2},{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right\}\\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| > \max \left\{ {\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {\overrightarrow b } \right|} \right\}
\end{array}$
$b)$ Ta chứng minh bằng quy nạp. Với $n = 0$ bài toán hiển nhiên đúng. Giả sử bài toán đúng cho $\left( {2n + 1} \right)$ vectơ. Xét hệ $\left( {2n + 3} \right)$ vectơ $\overrightarrow {O{P_1}} ,\overrightarrow {O{P_2}} ,...,\overrightarrow {O{P_{2n + 3}}} $ với các điểm ${P_1},{P_2},...,{P_{2n + 3}}$ được sắp xếp trên nửa đường tròn theo thứ tự đó.
Theo giả thiết quy nạp, $\left| {\overrightarrow {{\rm{OR}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {O{P_2}} + ... + \overrightarrow {O{P_{2n + 1}}} } \right| \ge 1$
Vectơ $\overrightarrow {OR} $ nằm trong góc ${P_1}O{P_{2n + 3}}$, do đó nó tạo một góc nhọn với vectơ $\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {O{P_1}} + \overrightarrow {O{P_{2n + 3}}} $
Theo $a)$
    $\left| {\overrightarrow {{\rm{OR}}} + \overrightarrow {OS} } \right| > \left| {\overrightarrow {OR} } \right| = 1$, tức là
    $\left| {\overrightarrow {O{P_1}} + \overrightarrow {O{P_2}} + ... + \overrightarrow {O{P_{2n + 3}}} } \right| > 1$
Theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Bài 103411

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103411

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan