Bài 103411

Question

$a)$ cho

$\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0$ và

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < {90^o}$ . Chứng minh rằng

$|\overrightarrow a + \overrightarrow b | > max \left\{ {|\overrightarrow a |,|\overrightarrow b |} \right\}$

$b)$ Trên nửa đường tròn tâm

$O$ bán kính bằng

$1$ lấy

$2n + 1$ điểm

${A_1},{A_2},...,{A_{2n + 1}}$ . Chứng minh rằng:

$|\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_{2n + 1}}} | \ge 1$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 3:12:23 PM

$a)$

${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$
Vì

$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) < {90^\circ } \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) > 0$ , do đó:

$\begin{array}{l} {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} > \max \left\{ {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2},{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right\}\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| > \max \left\{ {\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {\overrightarrow b } \right|} \right\} \end{array}$

$b)$ Ta chứng minh bằng quy nạp. Với

$n = 0$ bài toán hiển nhiên đúng. Giả sử bài toán đúng cho

$\left( {2n + 1} \right)$ vectơ. Xét hệ

$\left( {2n + 3} \right)$ vectơ

$\overrightarrow {O{P_1}} ,\overrightarrow {O{P_2}} ,...,\overrightarrow {O{P_{2n + 3}}}$ với các điểm

${P_1},{P_2},...,{P_{2n + 3}}$ được sắp xếp trên nửa đường tròn theo thứ tự đó.
Theo giả thiết quy nạp,

$\left| {\overrightarrow {{\rm{OR}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {O{P_2}} + ... + \overrightarrow {O{P_{2n + 1}}} } \right| \ge 1$
Vectơ

$\overrightarrow {OR}$ nằm trong góc

${P_1}O{P_{2n + 3}}$ , do đó nó tạo một góc nhọn với vectơ

$\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {O{P_1}} + \overrightarrow {O{P_{2n + 3}}}$
Theo

$a)$

$\left| {\overrightarrow {{\rm{OR}}} + \overrightarrow {OS} } \right| > \left| {\overrightarrow {OR} } \right| = 1$ , tức là

$\left| {\overrightarrow {O{P_1}} + \overrightarrow {O{P_2}} + ... + \overrightarrow {O{P_{2n + 3}}} } \right| > 1$
Theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Bài 103411

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103411

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan