Bài 103389

Question

Cho tam giác nhọn $ABC$ . Hãy tìm trên các đường thẳng $BC,CA,AB$ các điểm $X,Y,Z$ sao cho chu vi tam giác $XYZ$ nhỏ nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 2:30:28 PM

Giả sử là các đường cao của tam giác $ABC$ ; $X,Y,Z$ là ba điểm bất kì tương ứng trên các đường thẳng $BC,CA,AB$
Ta có $YZ + ZX + XY = $
$\begin{array}{l}
= \frac{{YZ.JK}}{{JK}} + \frac{{ZX.KI}}{{KI}} + \frac{{XY.{\rm{IJ}}}}{{{\rm{IJ}}}}\\
\ge \frac{{\overrightarrow {YZ} .\overrightarrow {JK} }}{{JK}} + \frac{{\overrightarrow {ZX} .\overrightarrow {KI} }}{{KI}} + \frac{{\overrightarrow {XY} .\overrightarrow {IJ} }}{{{\rm{IJ}}}}\\
= \frac{{\left( {\overrightarrow {YJ} + \overrightarrow {JK} + \overrightarrow {KZ} } \right)\overrightarrow {JK} }}{{JK}} + \frac{{\left( {\overrightarrow {ZK} + \overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IX} } \right)\overrightarrow {KI} }}{{KI}} + \frac{{\left( {\overrightarrow {XI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JY} } \right)\overrightarrow {IJ} }}{{{\rm{IJ}}}}\\
= JK + KI + {\rm{IJ}} + \overrightarrow {XI} \left( {\frac{{\overrightarrow {IJ } }}{{{\rm{IJ}}}} + \frac{{\overrightarrow {IK} }}{{IK}}} \right) + \overrightarrow {YJ} \left( {\frac{{\overrightarrow {JK} }}{{JK}} + \frac{{\overrightarrow {JI} }}{{JI}}} \right) + \overrightarrow {ZK} \left( {\frac{{\overrightarrow {KI} }}{{KI}} + \frac{{\overrightarrow {KJ} }}{{KJ}}} \right)
\end{array}$
Trong hình học phẳng ta biết một kết quả là trực tâm $H$ của $\Delta ABC$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta {\rm{IJ}}K$. Do đó
$\left( {\frac{{\overrightarrow {IJ} }}{{{\rm{IJ}}}} + \frac{{\overrightarrow {IK} }}{{IK}}} \right) \text {cùng hướng với} \overrightarrow {IA} \Rightarrow \overrightarrow {XI} \left( {\frac{{\overrightarrow {IJ} }}{{{\rm{IJ}}}} + \frac{{\overrightarrow {IK} }}{{IK}}} \right) = 0$
Tương tự $\overrightarrow {{\rm{YJ}}} .\left( {\frac{{\overrightarrow {JK} }}{{JK}} + \frac{{\overrightarrow {JI} }}{{JI}}} \right) = 0,\overrightarrow {ZK} \left( {\frac{{\overrightarrow {KI} }}{{KI}} + \frac{{\overrightarrow {KJ} }}{{KJ}}} \right) = 0$
Vậy $YZ + ZX + XY \ge JK + KI + {\rm{IJ}}$
Nếu xảy ra dấu đẳng thức thì
$\overrightarrow {YZ} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {JK} ;\overrightarrow {ZX} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {KI} ;\overrightarrow {XY} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {IJ} $
Nghĩa là $\exists \alpha ,\beta ,\gamma > 0:\overrightarrow {YZ} = \alpha \overrightarrow {JK} ;\overrightarrow {ZX} = \beta \overrightarrow {KI} ;\overrightarrow {XY} = \gamma \overrightarrow {IJ} $
Từ đó $\alpha \overrightarrow {JK} + \beta \overrightarrow {KI} + \gamma \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow 0 $
Mặt khác $\overrightarrow {JK} + \overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow 0 $
Nên $\alpha = \beta = \gamma $. Từ đó suy ra :
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {YZ} = \alpha \overrightarrow {JK} ;\overrightarrow {ZX} = \alpha \overrightarrow {KI} ;\overrightarrow {XY} = \alpha \overrightarrow {IJ} \\
\Rightarrow YZ = \alpha JK;ZX = \alpha KI;XY = \alpha {\rm{IJ}}\\
\Rightarrow {\rm{YZ + ZX + XY = }}\alpha \left( {JK + KI + {\rm{IJ}}} \right)
\end{array}$
Kết hợp với điều kiện khi đẳng thức xảy ra
$YZ + ZX + XY = JK + KI + {\rm{IJ}}$ ta có
$\alpha = \beta = \gamma = 1$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {YZ} = \overrightarrow {JK} \\
\overrightarrow {ZX} = \overrightarrow {KI} \\
\overrightarrow {XY} = \overrightarrow {IJ} \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X \equiv I\\
Y \equiv J\\
Z \equiv K\\
\end{array} \right.$
Ngược lại, nếu $X \equiv I,{\rm{Y}} \equiv {\rm{J,Z}} \equiv {\rm{K}}$ thì hiển nhiên
$YZ + ZX + XY = JK + KI + {\rm{IJ}}$
Tóm lại, chu vi tam giác $XYZ$ nhỏ nhất khi $X,Y,Z$ tương ứng trùng với chân các đường cao của $\Delta ABC$ kẻ từ $A,B,C$.

Bài 103389

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103389

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan