Bài 103386

Question

Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $m$ sao cho $MA + MB + MC$ nhỏ nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 2:23:02 PM

Nếu $A < {120^\circ},B < {120^\circ},C < {120^\circ}$ thì tồn tại điểm $T$ trong tam giác sao cho $\widehat {BTC} = \widehat {CTA} = \widehat {ATB} = {120^o}$.
Với điểm $M$ bất kì ta có
$\begin{array}{l}
MA + MB + MC = \frac{{MA.TA}}{{TA}} + \frac{{MB.TB}}{{TB}} + \frac{{MC.TC}}{{TC}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {TA} }}{{TA}} + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {TB} }}{{TB}} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {TC} }}{{TC}}\\
= \frac{{\left( {\overrightarrow {MT} + \overrightarrow {TA} } \right)\overrightarrow {TA} }}{{TA}} + \frac{{\left( {\overrightarrow {MT} + \overrightarrow {TB} } \right)\overrightarrow {TB} }}{{TB}} + \frac{{\left( {\overrightarrow {MT} + \overrightarrow {TC} } \right)\overrightarrow {TC} }}{{TC}}\\
= \overrightarrow {MT} \left( {\frac{{\overrightarrow {TA} }}{{TA}} + \frac{{\overrightarrow {TB} }}{{TB}} + \frac{{\overrightarrow {TC} }}{{TC}}} \right) + \frac{{{{\overrightarrow {TA} }^2}}}{{TA}} + \frac{{{{\overrightarrow {TB} }^2}}}{{TB}} + \frac{{{{\overrightarrow {TC} }^2}}}{{TC}}\\
= \overrightarrow {MT} .\overrightarrow 0 + TA + TB + TC\\
= TA + TB + TC
\end{array}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {TA} \\
\overrightarrow {MB} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {TB} \\
\overrightarrow {MC} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {TC}
\end{array} \right. \Leftrightarrow M \equiv T$ (điểm Toricelli).
- Nếu $A \ge {120^o}$ thì $\left| {\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right| \le 1$. Với điểm $M$ bất kì ta có
$\begin{array}{l}
MA + MB + MC = MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}\\
\ge MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{AC}}\\
= MA + \overrightarrow {MA} \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right) + \frac{{{{\overrightarrow {AB} }^2}}}{{AB}} + \frac{{{{\overrightarrow {AC} }^2}}}{{AC}}
\end{array}$
Vì $\left| {\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right| \le 1$ nên $MA + \overrightarrow {MA} \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right) \ge 0$
Vậy $MA + MB + MC \ge AB + AC$
Dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MB} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {AB} \\
\overrightarrow {MC} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {AC}
\end{array} \right. \Leftrightarrow M \equiv A$
Nếu $B \ge {120^o}$ hoặc $C \ge {120^o}$ thì ta cũng nhận được các kết quả tương tự. Tóm lại ,
+ Nếu $A,B,C < {120^o}$ thì $\left( {MA + MB + MC} \right)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow M \equiv T$
+ Nếu $A \ge {120^o}$ thì $\left( {MA + MB + MC} \right)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow M \equiv A$
+ Nếu $B \ge {120^o}$ thì $\left( {MA + MB + MC} \right)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow M \equiv B$
+ Nếu $C \ge {120^o}$ thì $\left( {MA + MB + MC} \right)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow M \equiv C$

Bài 103386

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103386

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan