Bài 103383

Question

Cho đường thẳng $xx’$ và hai điểm $A, B$ nằm về một phía của nó, $M \in xx'$. Biết rằng :
$\frac{{\cos \widehat {AMx}}}{{\cos \widehat {BMx}}} = \frac{b}{a}\left( {a,b > 0} \right)$.
Chứng minh rằng với mọi điểm $N$ trên $xx’$ ta có: $aNA + bNB \ge aMA + bMB$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 2:18:57 PM

${\rm{aNA}} + bNB = \frac{a}{{AM}}NA.MA + \frac{b}{{BM}}NB.MB$
$\begin{array}{l}
\ge \frac{a}{{MA}}\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {MA} + \frac{b}{{MB}}\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {MB} \\
= \frac{{a\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MA} } \right)\overrightarrow {MA} }}{{MA}} + \frac{{b\left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {MB} }}{{MB}}\\
= \overrightarrow {NM} \left( {a\frac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}} + b\frac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}}} \right) + {\rm{a}}{\rm{.MA}} + b.MB\\
= a|\overrightarrow {NM} ||\frac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}}|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {NM} ,\frac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}}} \right) + b|\overrightarrow {NM} |.|\frac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}}|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {NM} ,\frac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}}} \right) + {\rm{aMA}} + bMB\\
= |\overrightarrow {NM} |\left( {a\cos \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MA} } \right) + b\cos \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MB} } \right)} \right) + aMA + bMB
\end{array}$
Nếu $N \in Mx$ thì
$a\cos \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MA} } \right) + b\cos \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MB} } \right) = - a\cos \widehat {{\rm{AMx}}} + b\cos \widehat {BMx'} = 0$
Nếu $N \in Mx'$, tương tự ta có
$a\cos \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MA} } \right) + b\cos \left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MB} } \right) = 0$
Vậy ${\rm{aNA}} + bNB \ge {\rm{aMA}} + bMB$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {NA} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {MA} \\
\overrightarrow {NB} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {MB}
\end{array} \right. \Rightarrow N \equiv M$

Bài 103383

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103383

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan