Bài 103355

Question

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho :
a) $\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 0$
b) $\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right) = 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 11:48:38 AM

$a)$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC$
$D$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 $
$E$ là trung điểm $DC$. Ta có
$\begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} .\left ( 6\overrightarrow {ME} + {\overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} + 3\overrightarrow {EC} } \right ) = 0\\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} .6\overrightarrow {ME} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {ME} = 0 \Leftrightarrow MI \bot ME
\end{array}$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn là đường kính $IE$.
$b)$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác, ta có
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \\
\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \\
\left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right)\\
= \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} = 3\overrightarrow {CD}
\end{array}$`
Do đó $\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} } \right) = 0$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} .\overrightarrow {CD} = 0\\
\Leftrightarrow MG \bot CD
\end{array}$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $G$, vuông góc với $CD$.

Bài 103355

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103355

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan