Bài 103338

Question

Cho hình vuông $ABCD$ $;E,F$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow {BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CF} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} ,AE$ cắt $BF$ tại $I$. Chứng minh $\widehat {AIC} = 1v$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 11:21:09 AM

Giả sử $\overrightarrow {BI} = k\overrightarrow {BF}$.
Ta có :
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}
\end{array}$
Lại có $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BF} $
$\begin{array}{l}
= \overrightarrow {AB} + k\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF} } \right)\\
= \overrightarrow {AB} + k\left( {\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\\
= \left( {1 + \frac{k}{2}} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AD}
\end{array}$
Vì $\overrightarrow {AI} \text {cùng hướng với} \overrightarrow {AE} $ nên $\left( {1 + \frac{k}{2}} \right):1 = k:\frac{1}{3}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow 1 + \frac{k}{2} = 3k\\
\Rightarrow k = \frac{2}{5}
\end{array}$
Vậy $\overrightarrow {AI} = \frac{6}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AD} $.
Đồng thời cũng có
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AC} = \frac{6}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AD} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\\
\,\,\,\,\, = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AD} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {CI} = \left( {\frac{6}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AD} } \right)
\end{array}$
   $ = \frac{6}{{25}}{a^2} - \frac{6}{{25}}{a^2} = 0$ ( $a$ là độ dài cạnh hình vuông)
   $ \Rightarrow AI \bot CI$ ( đpcm)

Bài 103338

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103338

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan