Bài 103312

Question

Chứng minh rằng tứ giác có $2$ đường chéo vuông góc khi và chỉ khi tổng bình phương các cặp cạnh đối điện bằng nhau.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 10:40:26 AM

Cách 1:
    $\left( {A{D^2} + B{C^2}} \right) - \left( {A{B^2} + C{D^2}} \right)$
$\begin{array}{l}
= \left( {A{D^2} - C{D^2}} \right) - \left( {A{B^2} - C{B^2}} \right)\\
= \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {CD} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right)\\
= \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} } \right) - \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right)\\
= \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BD} } \right)\\
= 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}
\end{array}$
Vậy $AC \bot BD \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$ $ \Leftrightarrow A{D^2} + B{C^2} = A{B^2} + C{D^2}$

Cách 2:
    $\begin{array}{l}
AC \bot BD \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \right)\\
\Leftrightarrow A{D^2} - C{D^2} = A{B^2} - B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{D^2} + B{C^2} = A{B^2} + C{D^2}
\end{array}$

Cách 3:
        $\begin{array}{l}
A{D^2} + B{C^2} = A{B^2} + C{D^2}\\
\Leftrightarrow B{A^2} - B{C^2} = D{A^2} - D{C^2}\\
\Leftrightarrow BD \bot AC
\end{array}$

Bài 103312

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103312

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan