Bài 103308

Question

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành là tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong tứ giác đến các cạnh của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 10:35:42 AM

Giả sử $M, N$ là $2$ điểm bất kì trong tứ giác $ABCD$. Gọi ${M_1},{N_1};{M_2},{N_2};{M_3},{N_3};{M_4},{N_4};$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ trên các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$. Dựng ra phía ngoài tứ giác các vectơ đơn vị $\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {{e_3}} ,\overrightarrow {{e_4}} $ sao cho $\overrightarrow {{e_1}} \bot AB,\overrightarrow {{e_2}} \bot BC,\overrightarrow {{e_3}} \bot CD,\overrightarrow {{e_4}} \bot DA$.
Ta có: $M{M_1} + M{M_2} + M{M_3} + M{M_4} = N{N_1} + N{N_2} + N{N_3} + N{N_4} \left( {\forall M,N} \right)$
    $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {{e_4}} =
\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {ND} .\overrightarrow {{e_4}} & \left( {\forall M,N} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {NA} } \right)\overrightarrow {{e_1}} + \left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {NB} } \right)\overrightarrow {{e_2}} + \left( {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {NC} } \right)\overrightarrow {{e_3}} + \left( {\overrightarrow {MD} - \overrightarrow {ND} } \right)\overrightarrow {{e_4}} =0 & \left( {\forall M,N} \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} \left( {\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {{e_4}} } \right) = 0 & \left( {\forall M,N} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {{e_4}} } \right) = \overrightarrow 0
\end{array}$
Lấy điểm $O$ bất kì.
Từ $O$ dựng $\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {OR} = \overrightarrow {{e_3}} ,\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {{e_4}} $
Ta có $\left( {\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {{e_4}} } \right) = \overrightarrow 0 $
                $ \Leftrightarrow PQRS$ là hình chữ nhật
                $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{e_1}} \text { ngược hướng với } \overrightarrow {{e_3}} \\
\overrightarrow {{e_2}} \text { ngược hướng với } \overrightarrow {{e_4}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \parallel CD\\
AD \parallel BC
\end{array} \right.$
                $ \Leftrightarrow ABCD$ là hình bình hành (đpcm).

Bài 103308

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103308

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan