Bài 103278

Question

Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương :
a)    $ABCD$ là hình bình hành
b)    $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} = 0\,\,\,\,\,(1)$
c)    $A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
d)    $\left( {M{A^2} + M{C^2}} \right) - \left( {M{B^2} + M{D^2}} \right) = k\,\,\,\,\,\forall M$
( $k$ là một số thực nào đó)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 9:46:30 AM

$a)$ $ \Leftrightarrow $$b) : ABCD$ là hình bình hành $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)^2} = 0
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} } \right) = 0$( vì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 $).
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {DA} = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DA} = 0
\end{array}$

$a)$ $ \Leftrightarrow $ $c)$ : Với tứ giác $ABCD$ bất kì ta có :
$A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4I{J^2}$ ($I, J$ là trung điểm $AC, BD$)
Từ đó $ABCD$ là hình bình hành $ \Leftrightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = 0$
$ \Leftrightarrow A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2}$

$a)$$ \Rightarrow $$d)$ : Giả sử $ABCD$ là hình bình hành, với điểm $M$ bất kì ta có
$\begin{array}{l}
\left( {M{A^2} + M{C^2}} \right) - \left( {M{B^2} + M{D^2}} \right)\\
= \left( {2M{I^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} \right) - \left( {2M{I^2} + \frac{{B{D^2}}}{2}} \right)
\end{array}$
( $I$ là trung điểm $AC$ và $BD$)
$ = \frac{{A{C^2} - B{D^2}}}{2} = k$
$d)$$ \Rightarrow $$a)$. Nếu có $\left( {M{A^2} + M{C^2}} \right) - \left( {M{B^2} + M{D^2}} \right) = k\left( {\forall M} \right)$ thì cho $M$ lần lượt $ \equiv A,B,C,D$ ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + A{D^2} + k\\
C{A^2} = C{B^2} + C{D^2} + k\\
B{D^2} = B{A^2} + B{C^2} - k\\
D{B^2} = D{A^2} + D{C^2} - k
\end{array} \right.$
Cộng từng vế các đẳng thức thu được
$\begin{array}{l}
2\left( {A{C^2} + B{D^2}} \right) = 2\left( {A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}} \right)\\
\Rightarrow A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2}
\end{array}$
$ \Rightarrow ABCD$ là hình bình hành

Bài 103278

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103278

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan