Bài 103061

Question

Chứng minh rằng :
a) $\frac{{tan \alpha + tan \beta }}{2} \ge tan\frac{{\alpha + \beta }}{2} \left( {{0^o} \le \alpha ,\beta \le {{90}^o}} \right)$
b) $\frac{{\cot\alpha + \cot\beta }}{2} \ge \cot\frac{{\alpha + \beta }}{2} \left( {{0^o} \le \alpha ,\beta \le {{90}^o}} \right)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/5/2012 10:34:36 AM

Qua $A\left( {1;0} \right)$ dựng trục $t'At$ song song và cùng hướng với $y'Oy$.
Qua $B\left( {0;1} \right)$ dựng trục $z'Oz$ song song và cùng hướng với $x'{\rm{Ox}}$.
$OM$ cắt $z'Oz$ tại $N$, cắt $t'Ot$ tại $T$. Dễ dàng chứng minh được:
    $\left\{ \begin{array}{l}
\alpha = \overline {AT} \\
\cot \alpha = \overline {BN}
\end{array} \right.$

a)    Bây giờ giả sử
$\beta = \widehat {xON}\left( {\alpha \le \beta } \right)$
Lấy $P$ là trung điểm cung $\widehat {MN}$ thì $\frac{{\alpha + \beta }}{2} = \widehat {xOP}$
Gọi $M',N',P'$ theo thứ tự là giao điểm của $OM,ON,OP$ với $At, I$ là trung điểm của $M'N'$, ta có:
        $\frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{2} = \frac{{\overline {AM'} + \overline {AN'} }}{2} = \overline {AI} $
Vì $\frac{{P'M'}}{{P'N'}} = \frac{{OM'}}{{ON'}} \le 1$ $ \Rightarrow P'M' \le P'N' \Rightarrow \overline {AP'} \le \overline {AI} $
Tức là     $\tan \frac{{\alpha + \beta }}{2} \le \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow M' \equiv N' \equiv P' \equiv I$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow M \equiv N \equiv P\\
\Leftrightarrow \alpha = \beta
\end{array}$
b)    $\frac{{\cot \alpha + \cot \beta }}{2} = \frac{{\tan\left( {{{90}^\circ} - \alpha } \right) + \tan\left( {{{90}^\circ} - \beta } \right)}}{2}\ge \tan \frac{{\left( {{{90}^\circ} - \alpha } \right) + \left( {{{90}^\circ} - \beta } \right)}}{2} = \tan \left( {{{90}^\circ} - \frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right) = \cot \frac{{\alpha + \beta }}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \alpha = \beta $.

Bài 103061

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103061

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan