Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=\frac{1}{x}$ tại điểm $x=x_{0}$ bất kì.
Với $\Delta x$ là số gia của $x_{0}$ ta có
* $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\frac{1}{x_{0}+\Delta x}-\frac{1}{x_{0}}=\frac{-\Delta x}{(x_{0}+\Delta x)x_{0}}$
* $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{(x_{0}+\Delta x)x_{0}}$
* $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}-\frac{1}{(x_{0}+\Delta)x_{0}}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(\frac{1}{2};2)$ có dạng
$$y-y_{0}=f^{'}(x_{0})(x-x_{0})$$
Với $x_{0}=\frac{1}{2},y_{0}=2; f^{'}(x_{0})=f^{'}(\frac{1}{2})=-4$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y-2=-4(x-\frac{1}{2})$ hay $y=-4x+4$
b)Tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng $-1$ có dạng:
$$y-y_{0}=f^{'}(x_{0})(x-x_{0})$$
Với $y_{0}=-1 \Rightarrow \frac{1}{x_{0}}=-1\Rightarrow x_{0}=-1$
Khi đó $ f^{'}(x_{0})=f^{'}(-1)=-1$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y+1=-1(x+1)$ hay $y=-x-2$
c) $\Delta _{1}: x+4y-4=0\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x+1$
$\Delta _{1}$ có hệ số góc là $k_{1}=-\frac{1}{4}$
Gọi $M(x_{0},y_{0})$là tiếp điểm. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là
$k=f^{'}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$
Theo giả thiết tiếp tuyến song song với $\Delta _{1}$ nên
$k=k_{1}\Leftrightarrow -\frac{1}{x_{0}^{2}}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_{0}=\pm 2$
*Với $x_{0}=2$ thì $y_{0}=\frac{1}{2}; f^{'}(x_{0})=-\frac{1}{4}$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)$ hay $y=-\frac{1}{4}x+1$
Tiếp tuyến này loại vì trùng với $\Delta _{1}$
*Với $x_{0}=-2$ thì $y_{0}=-\frac{1}{2}; f^{'}(x_{0})=-\frac{1}{4}$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x+2)$ hay $y=-\frac{1}{4}x-1$
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=-\frac{1}{4}x-1$
d) $\Delta _{2}: x-y+1=0\Leftrightarrow y=x+1$
$\Delta _{2}$ có hệ số góc là $k_{2}=1$
Gọi $M(x_{0},y_{0})$là tiếp điểm. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là
$k=f^{'}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$
Theo giả thiết tiếp tuyến vuông góc với $\Delta _{2}$ nên
$k.k_{1}=-1 \Leftrightarrow -\frac{1}{x_{0}^{2}}.1=-1 \Leftrightarrow x_{0}=\pm 1$
*Với $x_{0}=1$ thì $y_{0}=1; f^{'}(x_{0})=-1$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y-1=-1(x-1)$ hay $y=-x+2$
*Với $x_{0}=-1$ thì $y_{0}=-1; f^{'}(x_{0})=-1$ nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
$y+1=-1(x+1)$ hay $y=-x-2$
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là $y=-x+2$ và $y=-x-2$