Bài 102995

Question

Tính các biểu thức:
1. $ A = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n $
2. $ B = C_n^1 + 2\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} + 3\frac{{C_n^3}}{{C_n^2}} + ... + p\frac{{C_n^p}}{{C_n^{p - 1}}} + ... + n\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} $

score 0 · Answer 1

1.
Áp dụng nhị thức Newton: $ {\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^x} $
Cho $ x = 1$ ta có ${2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = A $

2.
Ta có:
$ C_n^1 = n,\,\,2\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} = 2.\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{n!}} = n - 1 $
$ \begin{array}{l}
\,\,3\frac{{C_n^3}}{{C_n^2}} = 3.\frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}.\frac{{2!\left( {n - 2} \right)!}}{{n!}} = n - 2\\
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - \\

\,p\frac{{C_n^p}}{{C_n^{p - 1}}} = p.\frac{{n!}}{{p!\left( {n - p} \right)!}}.\frac{{\left( {p - 1} \right)!\left( {n - p + 1} \right)!}}{{n!}} = n - p + 1\\
\,\,n\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = n.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{n!}} = 1
\end{array} $
Do đó $ B = n + \left( {n - 1} \right) + \left( {n - 2} \right) + ... + 2 + 1 = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} $

(B là tổng của một cấp số cộng có n số hạng, với $ {a_1} = 1,d = 1) $

Bài 102995

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102995

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan