Bài 102976

Question

Tìm tất cả các giá trị của số nguyên dương $n$ sao cho trong khai triển $ (x+a)^n $ có $3$ hạng tử liên tiếp là $3$ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $ C_n^{k - 1} + C_n^{k + 1} = 2C_n^k $ tương đương với $ \begin{array}{l}
\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)}} + \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\\
\Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {n - k} \right)\left( {n - k + 1} \right)}} + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{2}{{k\left( {n - k} \right)}}\\
\Leftrightarrow k\left( {k + 1} \right) + \left( {n - k} \right)\left( {n - k + 1} \right) = 2\left( {k + 1} \right)\left( {n - k + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {n^2} - \left( {4k + 1} \right)n + 4{k^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow n = \frac{{4k + 1 \pm \sqrt {8k + 9} }}{2}
\end{array} $
Vì $ 4k + 1 $ là một số lẻ. Vậy $ 8k + 9 = {\left( {2m + 1} \right)^2} $
$ \Rightarrow \,\,\sqrt {8k + 9} = 2m + 1$ và $4k + 1 = \frac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - }}{2} $
Suy ra $ n = {n_1} = {m^2} - 2 \vee n = {n_2}={\left( {m + 1} \right)^2} - 2 $
Cả hai công thức viết chung dưới dạng $ n = {m^2} - 2 $
Vì $ 0 \le k - 1 < k + 1 \le n $ và $ k = \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right)}}{2} $
Nếu $ m = 1$ thì $ k = 0 $ suy ra $ k - 1 < 0 $
Nếu $ m = 2$ thì $k = n = 2 $ trái với bất đẳng thức: $ k + 1 \le n $ .
Vậy $ m \in \left\{ {3,4,5,6...} \right\}$ và $n = {m^2} - 2 $.

Bài 102976

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102976

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan