Bài 102959

Question

Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển

$( {\sqrt x + \frac{2}{{{2^4}\sqrt x }}} )$ có các hệ số là

$3$ số hạng liên tiếp của một số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỉ của khai triển đã cho.

score 0 · Answer 1

Viết khai triển nhị thức ba hạng tử đầu tiên

$\left( {\sqrt x + \frac{2}{{{2^4}\sqrt x }}} \right) = {x^{\frac{2}{n}}} + {\frac{n}{2}^{\frac{{n - 1}}{2} - \frac{1}{4}}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{8}{x^{\frac{{n - 2}}{2} - \frac{1}{2}}} + ...$
Theo giả thiết:

$1,\,\,\frac{n}{2},\,\,\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{8}$ tạo thành một cấp số cộng
Suy ra:

$1 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{8} = n \Leftrightarrow 8 + {n^2} - n = 8n \Leftrightarrow n = 8 \vee n = 1$
Trường hợp

$n = 1$ bị loại vì chỉ có hạng tử trong khai triển. Vậy ta chọn

$n = 8$ .
Lúc đó hạng tử thứ

$\left( {k + 1} \right)$ của khai triển là:

$C_8^k{\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{8 - k}}{\left( {{x^{\frac{{ - 1}}{4}}}} \right)^{8 - k}} = C_8^k{2^{k - 8}}.{x^{\frac{{3k}}{4} - 2}}$ 3k
Hạng tử này là số hữu tỉ, nếu 3k chia hết cho 4, vì

$0 \le k \le 8$ nên

$k = 4\,\,hay\,\,k = 8$
Vậy hạng tử thứ 5 là

$C_8^4\frac{1}{{{2^4}x}}{x^3} = \frac{{5.6.7.8}}{{24.1.6}}{x^3} = \frac{{35}}{8}{x^3}$
Vậy hạng tử thứ 8 là

$C_8^8{2^0}{x^4} = {x^4}$

Bài 102959

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102959

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan