Bài 102936

Question

Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $X,Y,Z,T$ theo thứ tự thuộc các cạnh $DA,AB,BC,CD$ sao cho
$\frac{{\overline {AX} }}{\overline {AD}} = \frac{{\overline {BY} }}{{\overline {BA} }} = \frac{{\overline {CZ} }}{{\overline {CB} }} = \frac{{\overline {DT} }}{{\overline {DC} }} = k$
${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ là các đường thẳng theo thứ tự qua $A,B,C$ tương ứng song song với $XT,YT,ZT$. Chứng minh rằng ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ đồng quy

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 4:31:59 PM

Giả sử ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$ . Ta có :
•    $\overrightarrow {XT} = \overrightarrow {XD} + \overrightarrow {DT} $
$\begin{array}{l}
= \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AD} + k\overrightarrow {DC} \\
= \left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) + k\overrightarrow {AB} \\
= \left( {2k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AC}
\end{array}$
Vì $\overrightarrow {AM} \parallel \overrightarrow {XT} $ nên
$\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }} = - \frac{{1 - k}}{{2k - 1}} = \frac{{k - 1}}{{2k - 1}}$            $(1)$
•    $\overrightarrow {YT} = \overrightarrow {YA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DT} $
$\begin{array}{l}
= \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {DC} \\
= \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} - k\overrightarrow {BA} \\
= \left( {1 - 2k} \right)\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC}
\end{array}$
Vì $\overrightarrow {BN} \parallel \overrightarrow {YT} $ nên
$\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }} = - \frac{{1 - 2k}}{1} = \frac{{2k - 1}}{1}$            $(2)$
•    $\overrightarrow {ZT} = \overrightarrow {ZC} + \overrightarrow {CT} $
$\begin{array}{l}
= - k\overrightarrow {CB} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {CD} \\
= - k\overrightarrow {CB} + \left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right) = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB}
\end{array}$
Vì $\overrightarrow {CP} \parallel \overrightarrow {ZT} $ nên $\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = - \frac{{ - 1}}{{1 - k}} = \frac{1}{{1 - k}}$            $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ thu được $\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = \frac{{k - 1}}{{2k - 1}}.\frac{{2k - 1}}{1}.\frac{1}{{1 - k}} = - 1$
Áp dụng định lí Xêva cho $\Delta ABC$ ta có $AM,BN,CP$ đồng quy, tức là ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ đồng quy

Bài 102936

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102936

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan