Bài 102872

Question

Cho hình bình hành $ABCD$. Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,DC;I,J,K$ theo thứ tự là trung điểm của $AM,ANMN$. Chứng minh rằng $BI,DJ,CK$ đồng quy.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 3:10:42 PM

• Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :
Bổ đề: Cho tam giác $ABC, M$ thuộc đường thẳng $BC$. $\overrightarrow u //\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u = \alpha \overrightarrow {AB} + \beta \overrightarrow {AC} $. Khi đó ta có $\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }} = - \frac{\beta }{\alpha }$
Chứng minh: Vì $\overrightarrow u //\overrightarrow {AM} $ nên $k\overrightarrow {AM} = \overrightarrow u \left( {k \in R} \right)$
$ \Rightarrow k\overrightarrow {AM} = \alpha \overrightarrow {AB} + \beta \overrightarrow {AC} $
Xét phép chiếu phương $\left( {AM} \right)$ xuống đường thẳng $BC$ ta có :
$\overrightarrow 0 = \alpha \overrightarrow {MB} + \beta \overrightarrow {MC} \Rightarrow \alpha \overrightarrow {MB} + \beta \overrightarrow {MC} = 0$
$ \Rightarrow \frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }} = - \frac{\beta }{\alpha }$ ( đpcm).
Nhận xét : Bổ đề này rất có ý nghĩa, nó cho phép ta tính $\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}$ mà không cần vẽ điểm $M$.

•    Bây giờ ta chứng minh bài toán (sử dụng định lý Xeva)
Giả sử $\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {DN} = l\overrightarrow {DC} $. Đặt $X = BI \cap DC,Y = DJ \cap BC,Z = CK \cap BD$.
Ta có :$\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BM} $
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2} \left( {\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{k}{2}\overrightarrow {BC} \\
\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{{k - 1}}{2}\overrightarrow {BC}
\end{array}$
    Theo bổ đề ta có $\frac{{\overline {XD} }}{{\overline {XC} }} = - \left( {k - 1} \right) = 1 - k$            $(1)$
Tương tự $\frac{{\overline {YC} }}{{\overline {YB} }} = - \frac{1}{{l - 1}} = \frac{1}{{1 - l}}$                    $(2)$
Lại có $\overrightarrow {CK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CM} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\left( {1 - l} \right)\overrightarrow {CD} $
$ \Rightarrow \frac{{\overline {ZB} }}{{\overline {ZD} }} = \frac{{l - 1}}{{1 - k}} (3)$
Từ $(1), (2),(3)$ suy ra
$\frac{{\overline {XD} }}{{\overline {XC} }}.\frac{{\overline {YC} }}{{\overline {YB} }}.\frac{{\overline {ZB} }}{{\overline {ZD} }} = \left( {1 - k} \right).\frac{1}{{1 - l}}.\frac{{l - 1}}{{1 - k}} = - 1$
Áp dụng định lí Xêva cho $\Delta BCD$ ta có $BI,DJ,CK$ đồng quy.

Bài 102872

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102872

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan