Bài 102845

Question

Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AM,BN,CP$ đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi
$\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = - 1$ $(1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 2:43:55 PM

Chiều thuận: Giả sử $AM,BN,CP$ đồng quy tại $O$. Vẽ qua $A$ đường thẳng $\Delta $ song song với $BC$, đặt $X = BN \cap \Delta ,Y = CP \cap \Delta .$
Theo định lí Talet ta có $\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = \frac{{\overline {{\rm{AX}}} }}{{\overline {AY} }}.\frac{{\overline {CB} }}{{\overline {{\rm{AX}}} }}.\frac{{\overline {AY} }}{{\overline {BC} }} = - 1$
(hoặc có thể suy ra ngay từ định lý Xeva)

Giả sử ba đường thẳng $AM,BN,CP$ song song. Ta có
$\begin{array}{l}
\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = \frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {BC} }}{{\overline {BM} }}.\frac{{\overline {CM} }}{{\overline {CB} }}\\ = \frac{{\overline {MB} }}{{\overline {BM} }}.\frac{{\overline {BC} }}{{\overline {CB} }}.\frac{{\overline {CM} }}{{\overline {MC} }} = - 1\\

\end{array}$

Chiều ngược: Giả sử ba điểm $M,N,P$ tương ứng trên các đường thẳng $BC,CA,AB$ thỏa mãn hệ thức $(1)$.
- Nếu hai trong ba đường thẳng $AM,BN,CP$ cắt nhau, chẳng hạn $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $O$. Đặt $P' = OC \cap AB$
(Nếu $CO//AB$ thì $\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}=-1$, nên $\frac{{\overline {P'A} }}{{\overline {P'B} }} =1$, mâu thuẫn. Nên tồn tại $P'$)
Theo phần thuận ta có :
$\frac{{\overline {MB} }}{{\overline {MC} }}.\frac{{\overline {NC} }}{{\overline {NA} }}.\frac{{\overline {P'A} }}{{\overline {P'B} }} = - 1$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ rút ra $\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PB} }} = \frac{{\overline {P'A} }}{{\overline {P'B} }} \Rightarrow P' \equiv P$
$ \Rightarrow AM,BN,CP$ đồng quy tại O.
- Nếu không có hai đường nào trong ba đường $AM,BN,CP$ cắt nhau thì hiển nhiên cả ba đường thẳng song song với nhau.

Bài 102845

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102845

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan