Bài 102834

Question

Trên đường thẳng $\Delta $ cho bốn điểm $A,B,C,D$ theo thứ tự đó. S là một điểm không thuộc $\Delta $. Một đường thẳng song song với $SA$ theo thứ tự cắt các tia $SB,SC,SD$ tại $Y,X,Z$. Chứng minh rằng $(ABCD)=-1\Leftrightarrow YX=YZ$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 2:26:47 PM

Chứng minh tương đương 2 chiều: Qua $B$ vẽ đường thẳng song song với $SA$, cắt $SC$ và $SD$ lần lượt tại $E, F$.
Theo định lí Talet ta có :
$\begin{array}{l}
\frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {BE} }}\\
\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }} = \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {BF} }}\\
\frac{{\overline {BE} }}{{\overline {BF} }} = \frac{{\overline {{\rm{YX}}} }}{{\overline {{\rm{Y}}Z} }}
\end{array}$
Do đó :
$\begin{array}{l}
\left( {ABCD} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = - \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}\\
\Leftrightarrow \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {BE} }} = - \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {BF} }}\\
\Leftrightarrow \frac{{\overline {BE} }}{{\overline {BF} }} = - 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\overline {{\rm{YX}}} }}{{\overline {YZ} }} = - 1\\
\Leftrightarrow {\rm{YX}} = YZ
\end{array}$

Chú ý : trong chứng minh trên ra coi $\frac{{\overline {CD} }}{{\overline {CB} }} = \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {BE} }}$, tức là ta đã cho các vectơ đơn vị của hai trục $AS, EB$ cùng hướng. Sự định hướng như vậy là theo thói quen thông thường đối với các đường thẳng song song.
Nhưng nếu ta cho hai vectơ đơn vị của các trục $AS, EB$ ngược hướng thì $\frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {EB} }};\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }} = \frac{{\overline {{\rm{AS}}} }}{{\overline {FB} }}$, song kết quả vẫn không có gì thay đổi.
Tuy nhiên, dù định hướng thế nào đi nữa trên một trục, nếu M nằm trong đoạn AB thì $\frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }} = - \frac{{MA}}{{MB}} < 0,M$ nằm ngoài đoạn $AB$ thì $\frac{{\overline {MA} }}{{\overline {MB} }} = \frac{{MA}}{{MB}} > 0$.
Trên đây là những chú ý quan trọng mà người ta hay nhầm lẫn khi bắt đầu sử dụng độ dài đại số để giải các bài toán hình học.

Bài 102834

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102834

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan