Bài 102806

Question

Trên trục cho bốn điểm $A,B,C,D$ là trung điểm của $AB, K$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương.
a)    $\frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = - \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}$
b)    $\frac{2}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\overline {AC} }} + \frac{1}{{\overline {AD} }}$ ( hệ thức Đêcac)
c)    $\overline {I{A^2}} = \overline {IC} .\overline {ID} $ ( hệ thức NiuTơn)
d)    $\overline {AC} .\overline {AD} = \overline {AB} .\overline {AK} $( hệ thức Macloranh)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 12:08:14 PM

Chọn một điểm $O$ bất kì làm gốc. Đặt $\overline {OA} = a,\overline {OB} = b,\overline {OC} = c,\overline {OD} = d$. Khi đó
$\begin{array}{l}
\frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = - \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }} \Leftrightarrow \frac{{a - c}}{{b - c}} = - \frac{{a - d}}{{b - d}}\\
\Leftrightarrow 2\left( {ab + cd} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\,\,\,(2)
\end{array}$

-    Chọn $A$ làm gốc $\left( {a = 0} \right)$, ta có:
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2cd = bc + bd$
$\Leftrightarrow \frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \Leftrightarrow \frac{2}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\overline {AC} }} + \frac{1}{{\overline {AD} }}$
Vậy $a) \Leftrightarrow b)$

-    Chọn $I$ làm gốc, ta có $a =- b$
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} = cd \Leftrightarrow \overline {I{A^2}} = \overline {IC} .\overline {ID} $
Vậy $a) \Leftrightarrow c)$

-    Lại có $\frac{2}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\overline {AC} }} + \frac{1}{{\overline {AD} }} \Leftrightarrow \overline {AC} .\overline {AD} = \overline {AB} .\frac{{\overline {AC} + \overline {AD} }}{2}$
$ \Leftrightarrow \overline {AC} .\overline {AD} = \overline {AB} .\overline {AK} $.
Vậy $b) \Leftrightarrow d)$

Chú ý: Bốn điểm $A,B,C,D$ trên trục và thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là hàng điểm điều hòa ( theo thứ tự đó). Để chỉ $A,B,C,D$ là hàng điểm điều hòa, người ta kí hiệu $\left( {ABCD} \right) =- 1$.
Rõ ràng nếu $\left( {ABCD} \right) =- 1$ thì cũng có $\left( {CDAB} \right) = \left( {BACD} \right) = \left( {ABCD} \right) =-1$. ( Suy ra từ hệ thức $(2)$, để ý vai trò bình đẳng của a và b, c và d).

Bài 102806

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102806

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan