Bài 102804

Question

Cho tam giác $ABC$, $\Delta $ là đường thẳng bất kì. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C$ xuống $\Delta $ còn ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ là các đường thẳng lần lượt qua $X,Y,Z$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ đồng qui.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 12:04:35 PM

Đặt $M = {\Delta _1} \cap BC$
$N = {\Delta _2} \cap CA;P = {\Delta _3} \cap AB$
Ta có :
$\begin{array}{l}
\left( {M{B^2} - M{C^2}} \right) + \left( {N{C^2} - N{A^2}} \right) + \left( {P{A^2} - P{B^2}} \right)\\
= \left( {X{B^2} - X{C^2}} \right) + \left( {Y{C^2} - Y{A^2}} \right) + \left( {Z{A^2} - Z{B^2}} \right)\\
= \left( {Z{A^2} - Y{A^2}} \right) + \left( {X{B^2} - Z{B^2}} \right) + \left( {Y{C^2} - X{C^2}} \right)\\
= \left( {Z{X^2} - {\rm{Y}}{{\rm{X}}^2}} \right) + \left( {X{Y^2} - Z{Y^2}} \right) + \left( {Y{Z^2} - X{Z^2}} \right)\\
= 0
\end{array}$
Vậy ${\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}$ đồng quy theo định lí Cácnô.

Định lý Cácnô: Cho $\Delta ABC$, Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng $AB,BC,CA$. Các đường thẳng qua $M,N,P$ tương ứng vuông góc với $AB,BC,CA$ đồng quy khi và chỉ khi $MB^2+NC^2+PA^2=MC^2+NA^2+PB^2$

Bài 102804

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102804

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan