Bài 102795

Question

Trên đường thẳng $\Delta $ cho $2$ điểm phân biệt $A, B$. Với mội số $k$ cho trước, chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $H \in \Delta $ sao cho $H{A^2} - H{B^2} = k$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 11:52:55 AM

Cách $1$: Chọn trên $\Delta $ điểm $O$ và vectơ đơn vị. Như vậy $\Delta $ trở thành một trục. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có:
        $\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,H{A^2} - H{B^2} = k\\
\Leftrightarrow \left( {\overline {HA} - \overline {HB} } \right)\left( {\overline {HA} + \overline {HB} } \right) = k \Leftrightarrow \overline {BA} \left( {\overline {HI} + \overline {IA} + \overline {HI} + \overline {IB} } \right) = k\\
\Leftrightarrow \overline {BA} .2\overline {HI} = k\\
\Leftrightarrow \overline {IH} = \frac{k}{{2\overline {AB} }}
\end{array}$
Đẳng thức trên chứng tỏ điểm $H$ tồn tại và duy nhất.

Cách $2$: Ta coi $\Delta $ là một trục với gốc và vectơ đơn vị đã chọn. Giả sử $A\left( a \right);B\left( b \right);H\left( x\right)$, ta có:
$\begin{array}{l}
H{A^2} - H{B^2} = k \Leftrightarrow {\left( {a - x} \right)^2} - {\left( {b - x} \right)^2} = k\\
\Leftrightarrow 2\left( {b - a} \right)x = k + \left( {{b^2} - {a^2}} \right).
\end{array}$      vì $A \ne B$ nên $a \ne b$
$ \Rightarrow $ phương trình luôn có nghiệm duy nhất:
        $x = \frac{{k + \left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}{{2\left( {b - a} \right)}}$
Điều đó chứng minh sự tồn tại và duy nhất của điểm $H$.

Chú ý: Trong nhiều bài toán hình học, đôi khi đường thẳng được coi là một trục với gốc và vectơ đơn vị đã chọn. Về sau, nếu không có gì nhầm lẫn ta không phải nói đến cụm từ “Ta coi $\Delta $ là một trục”.

Bài 102795

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102795

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan