Bài 102772

Question

Cho tam giác $ABC; M$ là điểm bất kì $H,I,K$ theo thứ tự là hình chiếu của M trên $BC,CA,AB$. Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}$ nhỏ nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 11:26:56 AM

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}} \right) \ge {\left( {aMH + bMI + cMK} \right)^2}\\
\ge {\left[ {2S\left( {MBC} \right) + 2S\left( {MCA} \right) + 2S\left( {MAB} \right)} \right]}^2 = 4{S^2}\left( {ABC} \right)
\end{array}$
Suy ra : $M{H^2} + M{I^2} + M{K^2} \ge \frac{{4{S^2}\left( {ABC} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Đẳng thức xảy ra
$ \Leftrightarrow$ $M$ nằm trong tam giác $ABC$ và $\frac{{MH}}{a} = \frac{{MI}}{b} = \frac{{MK}}{c}$
$ \Leftrightarrow $M nằm trong tam giác $ABC$ và $\frac{{S\left( {MBC} \right)}}{{{a^2}}} = \frac{{S\left( {MCA} \right)}}{{{b^2}}} = \frac{{S\left( {MAB} \right)}}{{{c^2}}}$
$ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA} + {b^2}\overrightarrow {MB} + {c^2}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $ (tính chất tâm tỉ cự với hệ số tương ứng là diện tích $3$ tam giác nhỏ)
$ \Leftrightarrow M$ là tâm tỉ cự của hệ ba điểm $\left\{ {A,B,C} \right\}$với các hệ số $\left\{ {{a^2},{b^2},{c^2}} \right\}$
$ \Leftrightarrow M$ là điểm Lơmoan của tam giác $ABC$.
Tóm lại : $M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là điểm Lơmoan của tam giác $ABC$ còn giá trị nhỏ nhất đó bằng $\frac{{4{S^2}\left( {ABC} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

Bài 102772

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102772

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan