Bài 102764

Question

Cho tam giác $ABC$ không đều. Các đường tròn bàng tiếp góc $A, B, C$ tương ứng tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$tại $M, N, P$. Chứng minh rằng $AM,BN,CP$ đồng qui tại một điểm trên đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiế và trọng tâm $\Delta ABC$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 11:19:03 AM

Gọi $E, F$ là tiếp điểm của đường tròn bang tiếp góc $A$ với các cạnh $AB, AC$,
Ta có : $2AE = AE + {\rm{AF}}$
$\begin{array}{l}
= AB + BE + AC + CF\\
= AB + AC + \left( {BE + CF} \right)\\
= AB + AC + \left( {BM + CM} \right)\\
= AB + AC + BC = 2p
\end{array}$
$ \Rightarrow AE = p$ ( p: nửa chu vi $\Delta ABC$).
Từ đó $BM = BE = AE - AB = p - c$
Lập luận tương tự ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
BM = AN = p - c\\
CN = BP = p - a\\
AP = CM = p - b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {p - b} \right)\overrightarrow {MB} + \left( {p - c} \right)\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\
\left( {p - c} \right)\overrightarrow {NC} + \left( {p - a} \right)\overrightarrow {NA} = \overrightarrow 0 \\
\left( {p - a} \right)\overrightarrow {PA} + \left( {p - b} \right)\overrightarrow {PB} = \overrightarrow 0
\end{array} \right.$
Vì $\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right) + \left( {p - c} \right) = p \ne 0$ nên $AM,BN,CP$ đồng quy tại $K$ thỏa mãn.
$\begin{array}{l}
\left( {p - a} \right)\overrightarrow {KA} + \left( {p - b} \right)\overrightarrow {KB} + \left( {p - c} \right)\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow p\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} } \right) - \left( {a\overrightarrow {KA} + b\overrightarrow {KB} + c\overrightarrow {KC} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow 3p\overrightarrow {KG} - \left( {a + b + c} \right)\overrightarrow {KI} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow 3p\overrightarrow {KG} - 2p\overrightarrow {KI} = \overrightarrow 0
\end{array}$
$ \Rightarrow 3\overrightarrow {KG} - 2\overrightarrow {KI} = \overrightarrow 0 $ ( $G$ : trọng tâm, $I$ : tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$). Vậy $K, G, I$ thẳng hàng.

Chú ý: Tính chất $AM,BN,CP$ đồng quy tại $K$ là tính chất về tâm tỉ cự $K$ của bộ $A,B,C$ với hệ số $(p-a,p-b,p-c)$ có được sau khi ta chỉ ra bộ ba đẳng thức vecto ở trên. Tính chất này rất hữu dụng.

Bài 102764

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102764

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan