Bài 102748

Question

Cho tam giác $ABC, I, G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm tam giác ; $E$ là điểm thỏa mãn $4\overrightarrow {EG} = 3\overrightarrow {EI} $. Chứng minh rằng $E$ thuộc miền $\Delta ABC$ khi và chỉ khi.
$b + c > \frac{5}{4}a;c + a > \frac{5}{4}b;a + b > \frac{5}{4}c$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 10:57:18 AM

Biến đổi tương đương: Ta có $4\overrightarrow {EG} = 3\overrightarrow {EI} $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{4}{3}\left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} } \right) = \frac{3}{{a + b + c}}\left( {a\overrightarrow {EA} + b\overrightarrow {EB} + c\overrightarrow {EC} } \right)\\
\Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right)\left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} } \right) = 9\left( {a\overrightarrow {EA} + b\overrightarrow {EB} + c\overrightarrow {EC} } \right)\\
\Leftrightarrow \left[ {4\left( {b + c} \right) - 5a} \right]\overrightarrow {EA} + \left[ {4\left( {a + c} \right) - 5c} \right]\overrightarrow {EB} + \left[ {4\left( {a + b} \right) - 5c} \right]\overrightarrow {EC} = \overrightarrow 0
\end{array}$
Ta có
$E \in \Delta ABC$$ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}
4\left( {b + c} \right) - 5a > 0\\
4\left( {c + a} \right) - 5b > 0\\
4\left( {a + b} \right) - 5c > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b + c > \frac{5}{4}a\\
c + a > \frac{5}{4}b\\
a + b > \frac{5}{4}c
\end{array} \right.$
($E$ nằm trong $\Delta ABC$ khi và chỉ khi E là tâm tỉ cự của bộ $3$ điểm $A,B,C$ với hệ số đều dương).

Bài 102748

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102748

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan