|
|
Chiều thuận: Giả sử các cạnh của $\Delta ABC$ tương ứng song song với các trung tuyến của $\Delta A'B'C'$. Không mất tính tổng quát, giả sử:
$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} //\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\\
\overrightarrow {CA} //\left( {\overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'A'} } \right)\\
\overrightarrow {AB} //\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} = k\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\\
\overrightarrow {CA} = l\left( {\overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'A'} } \right)\\
\overrightarrow {AB} = m\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)\,\,\,
\end{array} \right.$ $\left( {k,l,m \in R^*} \right)$
$ \Rightarrow \left( {k - l} \right)\overrightarrow {A'B'} + \left( {l - m} \right)\overrightarrow {B'C'} + \left( {m - k} \right)\overrightarrow {C'A'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 $
Lại có $\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {C'A'} = \overrightarrow 0 $ suy ra $k - l = l - m = m - k$
$\Rightarrow k = l = m$
Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} = k\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
\overrightarrow {CA} = k\left( {\overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'A'} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
\overrightarrow {AB} = k\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.$
Lấy $(3) – (2); (1) –(3) ;(2) – (1)$ thu được
$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = - 3k\overrightarrow {B'C'} \\
\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = - 3k.\overrightarrow {C'A'} \\
\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = - 3k.\overrightarrow {A'B'}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {B'C'} //\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\\
\overrightarrow {C'A'} //\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right)\\
\overrightarrow {A'B'} //\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)
\end{array} \right.$
Điều này chứng tỏ các cạnh của $\Delta A'B'C'$ tương ứng song song với các trung tuyến của $\Delta ABC$.
Chiều nghịch: hoàn toàn tương tự.
|
|
|
Đăng bài 04-05-12 10:40 AM
|
|