Bài 102738

Question

Cho tam giác $ABC , M$ là điểm trong tam giác. $H, I, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$.
Chứng minh rằng $M$ là trọng tâm $\Delta HIK$ khi và chỉ khi ${a^2}\overrightarrow {MA} + {b^2}\overrightarrow {MB} + {c^2}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 10:34:19 AM

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{{MH}}\overrightarrow {MH} + \frac{b}{{MI}}\overrightarrow {MI} + \frac{c}{{MK}}\overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 &(1)\\
{S_a}\overrightarrow {MA} + {S_b}\overrightarrow {MB} + {S_c}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,\,
\end{array} \right.$

Chứng minh tương đương:
${a^2}\overrightarrow {MA} + {b^2}\overrightarrow {MB} + {c^2}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{S_a}}} = \frac{{{b^2}}}{{{S_b}}} = \frac{{{c^2}}}{{{S_c}}}\\
\Leftrightarrow \frac{{2{a^2}}}{{a.MH}} = \frac{{2{b^2}}}{{b.MI}} = \frac{{2{c^2}}}{{c.MK}}\\
\Leftrightarrow \frac{a}{{MH}} = \frac{b}{{MI}} = \frac{c}{{MK}}
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\rm M}$ là trọng tâm $\Delta HIK$.

Chú ý: Điểm $M$ xác định trong bài được gọi là điểm Lomoan của $\Delta ABC$. Nó có nhiều đặc điểm hình học thú vị.
Tính chất $(1)$ chỉ đúng khi $M$ nằm trong tam giác $ABC$.

Bài 102738

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102738

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan