Bài 102707

Question

Cho tam giác $ABC, M$ là điểm bất kì trong tam giác $AM,BM,CM$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A',B',C'$. Chứng minh rằng $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$ khi và chỉ khi $M$ là trọng tâm $\Delta A'B'C'$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 10:04:54 AM

Giả sử $\alpha \overrightarrow {MA} + \beta \overrightarrow {MB} + \gamma \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,\,\, (\alpha,\beta,\gamma >0)$
Xét phép chiếu vectơ phương $(BC)$ xuống đường thẳng $AA’$.
Ta có : $\alpha \overrightarrow {MA} + \left( {\beta + \gamma } \right)\overrightarrow {MA'} = \overrightarrow 0 $
$ \Rightarrow \overrightarrow {MA'} = - \frac{\alpha }{{\beta + \gamma }}\overrightarrow {MA} $
Tương tự như vậy
$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MB'} = - \frac{\beta }{{\gamma + \alpha }}\overrightarrow {MB} \\
\overrightarrow {MC'} = - \frac{\gamma }{{\alpha + \beta }}\overrightarrow {MC}
\end{array} \right.$
Biến đổi tương đương: $M$ là trọng tâm $\Delta A'B'C'$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \frac{\alpha }{{\beta + \gamma }}\overrightarrow {MA} + \frac{\beta }{{\alpha + \gamma }}\overrightarrow {MB} + \frac{\gamma }{{\alpha + \beta }}\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \frac{\alpha }{{\beta + \gamma }} = \frac{\beta }{{\alpha + \gamma }} = \frac{\gamma }{{\alpha + \beta }}\\
\Leftrightarrow \alpha = \beta = \gamma
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $ ( vì $\alpha \overrightarrow {MA} + \beta \overrightarrow {MB} + \gamma \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $)
$ \Leftrightarrow M$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Bài 102707

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102707

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan