Bài 102703

Question

Cho tam giác $ABC$, điểm $M$ xác định bởi
$\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $
a) Chứng minh rằng các đường thẳng $MA$ và $BC, MB$ và $CA, MC$ và $AB$ cắt nhau.
b) Gọi A’ là giao điểm của $MA$ và $BC$. Tính $\frac{{A'B}}{{A'C}},\frac{{MA'}}{{MA}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 10:00:45 AM

a) Giả sử $MA // BC$ thì $M$ không nằm trên đường thẳng $BC$, do đó $\overrightarrow {MB} $ và $\overrightarrow {MC} $ không cùng phương.
Mặt khác $\overrightarrow {MA} //\overrightarrow {BC} $ suy ra $\exists k$:
$\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {BC} = k\left( {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right) = k\overrightarrow {MC} - k\overrightarrow {MB} $
Theo giả thiết , $\overrightarrow {MA} = - 4\overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {MB} $
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = - 4\\
k = - 2
\end{array} \right.$ (mâu thuẫn).
Vậy $MA$ cắt $MB$.
Tương tự ta có các đường thẳng $MB$ và $CA; MC$ và $AB$ cắt nhau.

b) Xét phép chiếu phương $\left( {{\rm{AA}}'} \right)$xuống $BC$ ta có:
$\overrightarrow 0 - 2\overrightarrow {A'B} + 4\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}} = 2$
$MB$ cắt $AC$ ở $B'$. Tương tự, ta có $ \frac{\overline{B'A}}{\overline{B'C}}=-4 $
Áp dụng định lý Menelauyt cho $\Delta AA'C$ với bộ $3$ điểm $B,B',M$ ta thu được: $\frac{\overline{MA}}{\overline{MA'}}=-2$
Nên $\frac{MA'}{MA}=\frac{1}{2}, \frac{A'B}{A'C}=2$

Nhận xét: Điểm $M$ nằm ngoài tam giác $ABC$

Bài 102703

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102703

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan