|
|
Vì hệ có nghiệm nên hệ hai phương trình đầu $ \left\{ \begin{array}{l}
ax + by = c\\
bx + cy = a
\end{array} \right. $ (II) cũng có nghiệm. Ta có: $ D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
b&c
\end{array}} \right|ac - {b^2};Dx = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
c&b\\
a&c
\end{array}} \right| = {c^2} - ab;Dy = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&c\\
b&a
\end{array}} \right| = {a^2} - bc $
Hệ (II) có nghiệm $ \Leftrightarrow D \ne 0\,\,\,\,\,V\,\,\,\,\,D = 0,Dx = 0,Dy = 0 $
a. Xét trường hợp $ D \ne 0 \Leftrightarrow ac - {b^2} \ne 0 $
Hệ (II) có nghiệm duy nhất:
$ x = \frac{{Dx}}{D} = \frac{{{c^2} - ab}}{{ac - {b^2}}};y = \frac{{Dy}}{D} = \frac{{{a^2} - bc}}{{ac - {b^2}}} $
Thay giá trị của x và y vào phương trình còn lại của hệ (I) $ \Rightarrow $ đpcm.
b. Xét trường hợp $ D = 0,Dx = 0,Dy = 0: $
Hệ (II) vô định $ \Rightarrow $ (I) vô định.
$ \begin{array}{l}
D = 0 \Leftrightarrow ac - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} = ac \Leftrightarrow {b^3} = abc\\
Dx = 0 \Leftrightarrow {c^2} - ab = 0 \Leftrightarrow {c^2} = ab \Leftrightarrow {c^3} = abc\\
Dy = 0 \Leftrightarrow {a^2} - bc = 0 \Leftrightarrow {a^2} = bc \Leftrightarrow {a^3} = abc
\end{array} $
Do đó: $ {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc. $
Vậy nếu hệ (I) có nghiệm thì ta luôn luôn có: $ {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc. $
|