Bài 102523

Question

Cho lục giác

$ABCDEF$ . Gọi

$M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$AB,BC,CD,EF,FA$ . Chứng minh rằng hai tam giác

$MPR$ và

$NQS$ có cùng trọng tâm.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/3/2012 4:04:56 PM

Cách $1$ : giả sử

$G$ là trọng tâm

$\Delta MPR$ , khi đó:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \\ \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GA} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} \\ = \overrightarrow 0 \end{array}$
Vậy

$G$ cũng là trọng tâm

$\Delta NQS$ .

Cách $2$ : Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có :

$\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \overrightarrow 0 \end{array}$
Giả sử

$G$ là trọng tâm

$\Delta MPR$ , khi đó:

$\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} =\overrightarrow 0$
Nên trọng tâm

$\Delta MPR$ và

$\Delta NQS$ trùng nhau.

Bài 102523

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102523

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan