|
|
Theo giả thiết ta có $B = 2A;C = 4A \Rightarrow A = \frac{\pi }{7},B = \frac{{2\pi }}{7},C = \frac{{4\pi }}{7}$
$1)$ Ta có ${h_a} = {h_b} + {h_c} \Leftrightarrow \frac{{2S}}{a} = \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\\
\Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}} = \frac{1}{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{1}{{\sin \frac{{4\pi }}{7}}}(1)
\end{array}$
Ta có :
$VP(1) = \frac{{\sin \frac{{4\pi }}{7} + \sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{{4\pi }}{7}\sin \frac{{2\pi }}{7}}} = \frac{{2\sin \frac{{3\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}}{{2\sin \frac{\pi }{7}c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}\sin \frac{{4\pi }}{7}}} = \frac{1}{{\sin \frac{\pi }{7}}}(\sin \frac{{4\pi }}{7} = \sin \frac{{3\pi }}{7})$
Vậy ($1$) đúng
Suy ra đpcm
$2)$
${a^2} + {b^2} + {c^2} = 7{R^2} \Leftrightarrow 4{R^2}({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C) = 7{R^2}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2(1 - c{\rm{os}}2A + 1 - c{\rm{os}}2B + 1 - c{\rm{os}}2C) = 7\\
\Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{6\pi }}{7} = \frac{{ - 1}}{2}(2)
\end{array}$
(do $\cos \frac{{8\pi }}{7} = \cos \frac{{6\pi }}{7}$)
Đặt $S = c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{6\pi }}{7}$
$ \Leftrightarrow 2\sin \frac{\pi }{7}S = 2\sin \frac{\pi }{7}(c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{6\pi }}{7})$
$ = \sin \frac{{3\pi }}{7} - \sin \frac{\pi }{7} + \sin \frac{{5\pi }}{7} - \sin \frac{{3\pi }}{7} + \sin \pi - {\sin ^{5\pi }}7 = - \sin \frac{\pi }{7}$
Từ đó suy ra $S = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow $ đpcm
$3)$ Theo kết quả đã biết (xem cuốn LƯỢNG GIÁC SƠ CẤP )ta có:
$O{H^2} = 9{R^2} - ({a^2} + {b^2} + {c^2})$
Vì vậy từ 2 suy ra $O{H^2} = 2{R^2} \Leftrightarrow OH = R\sqrt 2 \Rightarrow dpcm$
$ 4)$ $bc = a(b + c) \Leftrightarrow \sin B\sin C = \sin A(\sin B + \sin C)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{4\pi }}{7} = \sin \frac{\pi }{7}(\sin \frac{{2\pi }}{7} + \sin \frac{{4\pi }}{7})\\
\Leftrightarrow \sin \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{4\pi }}{7} = 2\sin \frac{\pi }{7}\sin \frac{{3\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}\\
\Leftrightarrow \sin \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{4\pi }}{7} = \sin \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{3\pi }}{7}\\
\Leftrightarrow \sin \frac{{4\pi }}{7} = \sin \frac{{3\pi }}{7}(3)
\end{array}$
Vì $3$ đúng suy ra đcpm
Đẳng thức $bc = {c^2} - {a^2}$ chứng minh tương tự
$5)$ $\cos A\cos B\cos C = \frac{{ - 1}}{8} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} = \frac{{ - 1}}{8}$
$ \Leftrightarrow 8\sin \frac{{2\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} = - \sin \frac{\pi }{7}(4)$(do $\sin \frac{\pi }{7}\neq 0$)
Ta có $VT(4) = 4\sin \frac{{2\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} = \sin \frac{{8\pi }}{7} = - \sin \frac{\pi }{7}$
Vậy $4$ đúng suy ra đpcm
$6)$ Ta nhận thấy $\frac{\pi }{7},\frac{{2\pi }}{7},\frac{{3\pi }}{7}$ là các nghiệm của pt
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}4x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3x$ (5)
Đặt $y = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x > 0$,(5) trở thành
$\begin{array}{l}
{(8{y^2} - 8y + 1)^2} = y{(4y - 3)^2}\\
\Leftrightarrow 64{y^4} - 144{y^3} + 104{y^2} - 25y + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 64(y - 1)({y^3} - \frac{5}{4}{y^2} + \frac{3}{8}y - \frac{1}{{64}}) = 0
\end{array}$
DO ${\cos ^2}\frac{\pi }{7},{\cos ^2}\frac{{2\pi }}{7},{\cos ^2}\frac{{3\pi }}{7}$ khác nhau va khác 1 suy ra ${\cos ^2}\frac{\pi }{7},{\cos ^2}\frac{{2\pi }}{7},{\cos ^2}\frac{{4\pi }}{7}$
($c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{3\pi }}{7} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7}$) là 3 nghiệm của pt:${y^3} - \frac{5}{4}{y^2} + \frac{3}{8}y - \frac{1}{{64}} = 0$ (6)
Ta có :
${\sin ^2}\frac{\pi }{7}{\sin ^2}\frac{{2\pi }}{7}{\sin ^2}\frac{{4\pi }}{7} = (1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7})(1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7})(1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7})$
$ = 1 - (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7}) + (c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7}$
$ + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7}) $
$- c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7}$
Vì thế theo Viet với PT ($6$) suy ra
${\sin ^2}\frac{\pi }{7}{\sin ^2}\frac{{2\pi }}{7}{\sin ^2}\frac{{4\pi }}{7}$
$=1 - \frac{5}{4} + \frac{3}{8} - \frac{1}{{64}} = \frac{7}{{64}}$
$ \Rightarrow \sin A\sin B\sin C = \sin \frac{\pi }{7}\sin \frac{{2\pi }}{7}\sin \frac{{3\pi }}{7} = \frac{{\sqrt 7 }}{8} \Rightarrow $ đpcm
$7)$
${h_a} = {h_b} + {h_c}$
${\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = \frac{5}{4} \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{4\pi }}{7} = \frac{5}{4}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7} + 1 + c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} + 1 + c{\rm{os}}\frac{{8\pi }}{7} = \frac{5}{2}\\
\Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{6\pi }}{7} = \frac{{ - 1}}{2}(c{\rm{os}}\frac{{6\pi }}{7} = c{\rm{os}}\frac{{8\pi }}{7})(7)
\end{array}$
Từ ($2)$ và ($7)$ suy ra đpcm
$8)$ $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{b}{a} - \frac{1}{2}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} = \frac{{\sin \frac{{2\pi }}{7}}}{{\sin \frac{\pi }{7}}} - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} - 2\cos \frac{\pi }{7} = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} = \frac{{ - 1}}{2}(\cos \frac{{6\pi }}{7} = - \cos \frac{\pi }{7})
\end{array}$
Theo ($2)$ suy ra đpcm
$9)$ Ta có ${l_a} = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}$
Theo phần 4 thì bc=a(a+c),từ đó suy ra ${l_a} = 2ac\cos \frac{A}{2} \Rightarrow $ đpcm
$10)$ $\frac{1}{{\cos A}} - \frac{1}{{\cos B}} - \frac{1}{{\cos C}} = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}} - \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7}}} - \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7}}} = 4$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}} - \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7}}} - \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7}}} = 4(7)$
Vì $\frac{\pi }{7},\frac{{3\pi }}{7},\frac{{5\pi }}{7}$ nằm trong số các nghiệm của pt :$3x + 4x = (2k + 1)\pi $, với $k$ nguyên
Từ đó suy ra $\frac{\pi }{7},\frac{{3\pi }}{7},\frac{{5\pi }}{7}$ thỏa mãn pt: $c{\rm{os}}3x = - c{\rm{os}}4x \Leftrightarrow c{\rm{os}}3x + c{\rm{os}}4x = 0$ ($8)$
Dễ thấy $(1$) tương đương $8{\cos ^4}x + 4{\cos ^3}x - 8{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow (\cos x + 1)(8{\cos ^3}x - 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 1) = 0$
Do
$ cosx+1\neq 0
$ Khi $x = $ $\frac{\pi }{7},\frac{{3\pi }}{7},\frac{{5\pi }}{7}$, nên ta có :
$c{\rm{os}}\frac{\pi }{7},c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7},c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7}$ là 3 nghiệm của pt : $8{y^3} - 4{y^2} - 4y + 1 = 0$ $(9)$
Ta thấy $\frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}} + \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7}}} = \frac{{c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7} + c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}}{{c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7}c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7}}}$ ($10)$
Từ ($10$) và định lý Viet với PT $(9)$ suy ra :
$\frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{\pi }{7}}} + \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{3\pi }}{7}}} + \frac{1}{{c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{7}}}$=$\frac{{\frac{{ - 4}}{8}}}{{\frac{{ - 1}}{8}}} = 4$ suy ra đpcm
11) $\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = 8$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{\pi }{7}}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{7}}} = 8\\
\Leftrightarrow (1 + \cot {^2}\frac{\pi }{7}) + (1 + \cot {^2}\frac{{2\pi }}{7}) + (1 + \cot {^2}\frac{{4\pi }}{7}) = 8\\
\Leftrightarrow (\cot {g^2}\frac{\pi }{7} - 1) + (\cot {g^2}\frac{{2\pi }}{7} - 1) + (\cot {g^2}\frac{{4\pi }}{7} - 1) = 2(11)
\end{array}$
Áp dụng công thức $\cot {^2}\alpha - 1 = 2\cot \alpha .\cot 2\alpha $,ta có :
$(11) \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{7}\cot \frac{{2\pi }}{7} + \cot \frac{{2\pi }}{7}\cot \frac{{4\pi }}{7} + \cot\frac{{4\pi }}{7}\cot \frac{{8\pi }}{7} = 1(12)$
Do$\frac{\pi }{7} + \frac{{2\pi }}{7} + \frac{{4\pi }}{7} = \pi \Rightarrow (12)$ đúng suy ra đpcm
12) $\sqrt[3]{{\cos A}} + \sqrt[3]{{\cos B}} - \sqrt[3]{{\cos C}} = \sqrt[3]{{\frac{{5 - 3\sqrt[3]{7}}}{2}}}$
$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7}}} - \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\frac{{8\pi }}{7}}} = \sqrt[3]{{\frac{{5 - 3\sqrt[3]{7}}}{2}}}$ ($13)$
Ta nhận thấy $\frac{{2\pi }}{7},\frac{{4\pi }}{7},\frac{{8\pi }}{7}$ thỏa mãn pt: $cos4x=cos3x (14)$
Dễ thấy sau khi biến đổi thì
$(14) \Leftrightarrow (\cos x - 1)(8{\cos ^3}x + 4{\cos ^2}x - 4\cos x - 1) = 0$
Vì $\frac{{2\pi }}{7},\frac{{4\pi }}{7},\frac{{8\pi }}{7}$ không thỏa mãn pt $cosx-1=0$, nên nó thỏa mãn pt:
$(8{\cos ^3}x + 4{\cos ^2}x - 4\cos x - 1) = 0$
Nói cách khác Pt bậc $3$: ${y^3} + {y^2} - 2y - 1 = 0$ nhận $2\cos \frac{{2\pi }}{7},2\cos \frac{{4\pi }}{7},2\cos \frac{{8\pi }}{7}$ là $3$ nghiệm phân biệt. Theo Viet ta có
$\left\{ \begin{array}{l}
2\cos \frac{{2\pi }}{7} + 2\cos \frac{{4\pi }}{7} + 2\cos \frac{{8\pi }}{7} = - 1\\
4\cos \frac{{2\pi }}{7}2\cos \frac{{4\pi }}{7} + 4\cos \frac{{4\pi }}{7}2\cos \frac{{8\pi }}{7} + \\
8\cos \frac{{2\pi }}{7}\cos \frac{{4\pi }}{7}\cos \frac{{8\pi }}{7} = 1
\end{array} \right.4\cos \frac{{8\pi }}{7}2\cos \frac{{2\pi }}{7} = - 2$
Đặt $\begin{array}{l}
P = \sqrt[3]{{2\cos \frac{{2\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{2\cos \frac{{4\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{2\cos \frac{{8\pi }}{7}}}\\
Q = \sqrt[3]{{2\cos \frac{{2\pi }}{7}}}\sqrt[3]{{2\cos \frac{{4\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{2\cos \frac{{4\pi }}{7}}}\sqrt[3]{{2\cos \frac{{8\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{2\cos \frac{{8\pi }}{7}}}\sqrt[3]{{2\cos \frac{{2\pi }}{7}}}
\end{array}$
Khi đó ta có ${P^3} = - 4 + 3PQ (*)$
Tương tự ta có: ${Q^3} = - 5 + 3PQ (**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có ${P^3} = 5 - 3\sqrt[3]{7} \Rightarrow P = \sqrt[3]{{5 - 3\sqrt[3]{7}}} (16)$
Rõ ràng $\sqrt[3]{{c{\rm{os}}\frac{{2\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\frac{{4\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\frac{{8\pi }}{7}}} = \frac{P}{{3\sqrt 2 }}$ ($17$)
Từ ($16)(17$) suy ra ($13)$ đúng suy ra $DPCM$
13)$\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}A}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}B}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}C}} = 416$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\frac{\pi }{7}}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\frac{{2\pi }}{7}}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\frac{{4\pi }}{7}}} = 416$ $(18)$
Do $\frac{\pi }{7},\frac{{2\pi }}{7},\frac{{3\pi }}{7}$ thỏa mãn PT: $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}4x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3x$
Nên lập luận như phần trên suy ra ${y_1} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{\pi }{7},{y_2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{2\pi }}{7},{y_3} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{3\pi }}{7}$ là 3 nghiệm của PT : $64{y^3} - 80{y^2} + 24y - 1 = 0$ $(19)$
Ta có $VT(18) = \frac{1}{{y_1^2}} + \frac{1}{{y_2^2}} + \frac{1}{{y_3^2}} = \frac{{y_1^2y_2^2 + y_2^2y_3^2 + y_3^2y_1^2}}{{{{({y_1}{y_2}{y_3})}^2}}}$ $ (20)$
Theo định lý Viet với (19),ta có ${({y_1}{y_2}{y_3})^2} = {(\frac{1}{{64}})^2}$
$y_1^2y_2^2 + y_2^2y_3^2 + y_3^2y_1^2 = {({y_1} + {y_2} + {y_3})^2} - 2{y_1}{y_2}{y_3}({y_1} + {y_2} + {y_3})$
$ = {(\frac{{24}}{6})^2} - 2.\frac{{80}}{{64}}.\frac{1}{{64}}$
Thay lại vào (20) có đpcm
Nhận xét
13 tính chất nêu trên chỉ là hệ quả của điều kiện B=2A,C=4A. Điều ngược lại nói chung không đúng. Thật vậy, chỉ cần xét điều kiện ${h_a} = {h_b} + {h_c}$
Ta thấy ${h_a} = {h_b} + {h_c} \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ (21)
Xét tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$với ${a_2} = \frac{{12}}{5},{b_2} = 4,{c_2} = 6$($6 < 4 + \frac{{12}}{5}$)
Rõ ràng tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$ cũng thỏa mãn $(21)$
Xét tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ với ${a_1} = \frac{{35}}{{12}},{b_1} = 5,{c_1} = 7$($7 < 5 + \frac{{35}}{{12}}$)
Rõ ràng tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ cũng thỏa mãn $(21)$
không đồng dạng với. Vậy có ít nhất $1$ tam giác không đồng dạng với tam giác $ABC$ có $A = \frac{\pi }{7},B = \frac{{2\pi }}{7},C = \frac{{4\pi }}{7}$.Như thế từ hệ thức ${h_a} = {h_b} + {h_c}$ không thể suy ra $A = \frac{\pi }{7},B = \frac{{2\pi }}{7},C = \frac{{4\pi }}{7}$
Nhận xét được chứng minh.
|