Bài 102495

Question

Chứng minh rằng nếu phương trình:
$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$
có nghiệm thì: $a^{2}+b^{2}\geq \frac{4}{5}$

score 0 · Answer 1

Gọi $x$ là nghiệm của phương trình đã cho:
$ x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0 \left ( \Rightarrow x\neq 0\right )$
Chia $2$ vế cho $x^{2}>0$,ta được:
$\left ( x^{2}+\frac{1}{ x^{2} } \right )+a\left ( x+\frac{1}{x} \right )+b=0 $ $\left ( 1 \right )$
Đặt: $t= x+\frac{1}{x} ,$( $|t|=|x+\frac{1}{x}|=|x|+|\frac{1}{x}|\geq 2$)

$\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow t^{2}+at+b-2=0\Leftrightarrow 2-t^{2}=at+b$
Áp dụng BCS: $\left ( 2-t^{2} \right )=\left ( at+b \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( t^{2}+1 \right )$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2} \geq \frac{ \left ( 2-t^{2} \right )^{2} }{ t^{2}+1 }$
Ta sẽ chứng minh: $ \frac{ \left ( 2-t^{2} \right )^{2} }{ t^{2}+1 }\geq \frac{4}{5}$
Thật vậy: $ \frac{ \left ( 2-t^{2} \right )^{2} }{ t^{2}+1 }\geq \frac{4}{5} \Leftrightarrow 5\left ( 4-4t^{2}+t^{4} \right )\geq 4t^{2} +4$
$\Leftrightarrow 5t^{4}-24t^{2}+16\geq 0 \Leftrightarrow \left ( t^{2}-4 \right ). \left ( 5t^{2}-4 \right )\geq 0 $
BĐT cuối luôn đúng (vì $ t^{2} \geq 4\Rightarrow \begin{cases} t^{2}-4 \geq 0 \\ 5t^{2}-4 > 0 \end{cases}$
Vậy: $ a^{2}+b^{2} \geq \frac{4}{5} $

Bài 102495

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102495

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan