Bài 102478

Question

Chứng minh rằng: nếu phương trình:

$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0 \left (1 \right )$ có nghiệm thì: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

score 0 · Answer 1

Gọi $x$ là nghiệm của $\left ( 1 \right )$, ta có:
$ x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0 \left ( \Rightarrow x \neq 0 \right ) \Rightarrow -\left ( 1+ x^{4} \right )=a.x^{3}+bx^{2}+cx$
Áp dụng BĐT BCS:
$ \left ( 1+ x^{4} \right ) ^{2}=\left ( ax^{3}+bx^{2}+cx   \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}  \right ) \left (  x^{6}+x^{4}+x^{2}  \right ) $
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{ \left ( 1+ x^{4} \right ) ^{2} }{ x^{6}+x^{4}+x^{2}   } $ $\left ( 2 \right )$
Mặt khác: $ \frac{ \left ( 1+ x^{4} \right ) ^{2} }{ x^{6}+x^{4}+x^{2}   } \geq \frac{4}{3}$ $\left ( 3 \right )$
Thật vậy: $\left ( 3 \right )\Leftrightarrow 3\left ( 1+2x^{4}+x^{8} \right )\geq 4 \left (  x^{6}+x^{4}+x^{2}  \right )  $
$\Leftrightarrow 3x^{8}-4x^{6}+2x^{4}-4x^{2}+3\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( x^{2}-1 \right )^2.\left ( 3x^{4}+2x^{2}+3 \right )\geq 0 $ (luôn đúng)
Từ $\left ( 2 \right )$ và $\left ( 3 \right )$: $ a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{4}{3} $.
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow$$\begin{cases} \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=x \\ \frac{a}{c}=x^2 \\ x^2=1 \\ x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0 \end{cases}$
* $x=1\Rightarrow\begin{cases} a=b=c \\ a+b+c=-2\end{cases}$$ \Leftrightarrow a=b=c=\frac{-2}{3}$
*$x=-1\Rightarrow\begin{cases} a=c=-b \\ a-b+c=2\end{cases}\Leftrightarrow a=c=\frac{-2}{3}, b=\frac{2}{3}$

Bài 102478

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102478

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan