Bài 102466

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $tanA - tanB = tan\frac{A}{2} - tan\frac{B}{2}$
CMR $ABC$ là tam giác cân

score 0 · Answer 1

Ta đưa hệ thức về dạng tương đương sau
$tgA - tgB = tg\frac{A}{2} - tg\frac{B}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos Ac{\rm{os}}\frac{A}{2}}} = \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos Bc{\rm{os}}\frac{B}{2}}}                        (1)$
Do $\sin \frac{A}{2},\sin \frac{B}{2},c{\rm{os}}\frac{A}{2},c{\rm{os}}\frac{B}{2}$ đều dương nên từ ($1$) suy ra $cosA,cosB$ cùng dấu.Vì trong $1$ tam giác không thể có quá $1$ góc tù hoặc $1$ góc vuông,nên từ đó suy ra $cosA>0,cosB>0$
Như vậy từ ($1$) suy ra $A,B$ là các góc nhọn.Giả sử $A\neq B$,không mất tổng quát,có thể cho
     $\frac{\pi }{2} > A > B > 0$
     $ \Rightarrow \sin \frac{A}{2} > \sin \frac{B}{2}               (2)$
$\left\{ \begin{array}{l}
0 < \cos A < \cos B\\
0 < c{\rm{os}}\frac{A}{2} < c{\rm{os}}\frac{B}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \cos Ac{\rm{os}}\frac{A}{2} < \cos Bc{\rm{os}}\frac{B}{2} (3)$
Từ ($2$) và ($3$) suy ra $\frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{\cos Ac{\rm{os}}\frac{A}{2}}} > \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos Bc{\rm{os}}\frac{B}{2}}}                 (4)$
Từ ($1) (4)$ suy ra vô lý,như vậy giả sử $A\neq B$ là sai,từ đó suy ra $DPCM$

Bài 102466

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102466

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan