|
|
Ta có : ${l_b} = {l_c} \Leftrightarrow \frac{{2a\cos \frac{B}{2}}}{{a + c}} = \frac{{2ab\cos \frac{C}{2}}}{{a + b}}$
$ \Rightarrow \alpha = \beta$
$\Leftrightarrow \frac{1}{{\cos \frac{B}{2}}}(1 + \frac{a}{c}) = \frac{1}{{\cos \frac{C}{2}}}(1 + \frac{a}{b}) (1)$
Giả thiết phản chứng $b\neq c$,khi đó,không mất tổng quát,giả sử $b>c$,ta có
${90^0} > \frac{B}{2} > \frac{C}{2} > 0$
$\Rightarrow 0 < c{\rm{os}}\frac{B}{c} < c{\rm{os}}\frac{C}{2}
(2)$
Ngoài ra ta có $\frac{1}{c} > \frac{1}{b} (3)$
Từ ($2)(3)$ suy ra $VT(1)>VP(1)$
Điều đó vô lý chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai,từ đó suy ra $DPCM$
CHÚ Ý:
$1/$ Jacob Steiner ($1796-1863$) là nhà hình học nổi tiếng người Thụy Sỹ.Định lý Steiner-Lenmus này có đến hàng chục cách chứng minh khác nhau,trong đó cách chứng minh trên là duy nhất sử dụng kiến thức lượng giác
$2/$ sau đây chúng tôi sin đưa ra $2$ cách chúng minh “phi lượng giác” đẹp mắt và bạn đọc có thể thưởng thức
Cách $1$(tác giả là $2$ kĩ sư người Anh là G.Jylbert và D.Mac-Donnell).Cách giải này được coi là đơn giản nhất và được công bố trên tạp chí “American Mathematical Monthly” năm $1963$
Bổ đề:Trong tam giác $ABC$ nếu $A<B$ thì đường phân giác $AN$ lớn hơn phân giác $MB$
CM bổ đề:
Lấy $N’$ trên $AN$ sao cho
Từ đó suy ra tứ giác $ABN’M$ nội tiếp.Trong đường tròn này cung $MB$<cung $N’A$
$\Rightarrow MB < N'A$ mà $N’A<AN$ suy ra $AN<BM$.Bổ dè được chứng minh
Định lý trên là hệ quả trực tiếp của bổ đề trên
Cách $2$ (của R.W.Hegy đăng trên tạp chí “The Mathtical Gazette” của Anh năm $1982$-và được xem là đơn giản nhất !)
Vẽ hình bình hành $AMDN$ như hình vẽ với kí hiệu các góc $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta $
Do $AN=BM$ cân $ \Rightarrow \alpha + \gamma = \beta + \delta (1)$
Nếu như $\alpha > \beta $ thì từ ($1$) suy ra $\gamma < \delta (2)$
Mặt khác xét $2$ tam giác $NAB$ và $MAB$ có $AB$ chung,$MB=AN$,mà $alpha > \beta $$\Rightarrow BN > AM \Rightarrow BN > DN (3)$
Vì vậy trong tam giác $BDN$,từ ($3$) suy ra $\gamma > \delta (4)$
Từ ($2$) và ($4$) suy ra vô lý.Vì lý do đó tương tự $\alpha $ không thể nhỏ hơn $\beta $
$\Rightarrow \alpha = \beta $.Ta có $DPCM$
Các bạn đọc giả thân mến.Kể từ năm $1840$ khi S.L.Lenmus gửi thư cho nhà hình học J.Steiner đã quá $150$ năm.Từ cách chứng minh gần đây nhất của R.W.Hegg,con người đã dần thực hiện được khát vọng là vươn tới cái đơn giản nhất.Chắc chắn rằng quá trình này chưa dừng lại ở đây
$3/$ Cuối phần chú ý này,xin dành cho cách giải của chính J.Steiner
Dựa vào công thức
$\left\{ \begin{array}{l}
l_b^2 = \frac{{ac\left[ {{{(a + c)}^2} - {b^2}} \right]}}{{{{(a + c)}^2}}}\\
l_c^2 = \frac{{ab\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right]}}{{{{(a + b)}^2}}}
\end{array} \right.$
Từ ${l_b} = {l_c} $,sau khi biến đổi ,ta đưa về dạng
$4(a + b + c)\left[ {(a + b + c)({a^2} + bc) + 2abc} \right](b - c) = 0$
$\Rightarrow b = c$
Suy ra $DPCM$
|