Bài 102439

Question

$1/$ Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + 2\sin A\sin B = \frac{9}{4} + \cos C + \cos^2C$
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân với góc ở đỉnh $C = {120^0}$
$2/$ Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $\sin \frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{{A - C}}{2} + \sin \frac{{3A}}{2} = \frac{3}{2}$
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân với góc ở đỉnh $A = {100^0}$

score 0 · Answer 1

$1/$ Từ giả thiết ta có:    ${(\sin A + \sin B)^2} = {(\frac{3}{2} + \cos C)^2}$
                                $ \Leftrightarrow \sin A + \sin B = \frac{3}{2} + \cos C$
      ( vì $\sin A + \sin B > 0,\frac{3}{2} + \cos C > 0$ trong mọi tam giác )
   $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} = \frac{3}{2} + 2{\cos ^2}\frac{C}{2} - 1\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{C}{2} - 4\cos \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {(2\cos \frac{C}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2})^2} + {\sin ^2}\frac{{A - B}}{2} = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin \frac{{A - B}}{2} = 0(1)\\
2\cos \frac{C}{2} - c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} = 0(2)
\end{array} \right.
\end{array}$
Từ ($1$) suy ra $A=B$, thay vào ($2$) có   $c{\rm{os}}\frac{C}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow C = {120^0}$
Từ đó suy ra (đpcm)
$2/$ Ta có $3A = 3\pi - 3(B + C) \Rightarrow \frac{{3A}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} - \frac{{3(B + C)}}{2} \Rightarrow \sin \frac{{3A}}{2} = - c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{2}$
    Từ đó suy ra        $\sin \frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{{A - C}}{2} + \sin \frac{{3A}}{2} = \frac{3}{2}$
          $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin \frac{{2A - (B + C)}}{4}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4} - c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{2} = \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin \frac{{2\pi - 3(B + C)}}{{}}4c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4} - c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{2} = \frac{3}{2}\\
\Leftrightarrow 2\cos \frac{{3(B + C)}}{4}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4} - 2{\cos ^2}\frac{{3(B + C)}}{4} + 1 = \frac{3}{2}
\end{array}$
     $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{{3(B + C)}}{4} - c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{4}c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{4} + \frac{1}{2} = 0   (1)$
Từ ($1$) suy ra phương trình     $2{x^2} - 2\cos \frac{{B - C}}{4}x + \frac{1}{2} = 0$
   Phải có nghiệm, tức $\Delta ' = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{4} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{4} \ge 1           (2)$
Mặt khác    $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{4} \le 1             (3)$
Từ ($2$) và ($3$) suy ra       $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{B - C}}{2} = 1$
             $ \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = 1$ (do $\left| {\frac{{B - C}}{4}} \right| < {90^0}$)
           $ \Leftrightarrow B = C                                                            (4)$
Thay ($4$) vào ($1$) ta có    $c{\rm{os}}\frac{{3(B + C)}}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{3B}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{3B}}{2} = {60^0} \Leftrightarrow B = {40^0}$
Từ đó suy ra (đcpm)

Bài 102439

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102439

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan