Bài 102373

Question

Chứng minh rằng hai hệ phương trình $ (1)\left\{ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right. (2)\left\{ \begin{array}{l}
\alpha A + \beta B = 0\\
\alpha 'A + \beta ' B = 0
\end{array} \right. $
Tương đương nhau nếu $ \alpha \beta ' - \beta \alpha ' \ne 0 $

score 0 · Answer 1

Ta phải chứng minh rằng mọi nghiệm của (1) thì thỏa (2) và mọi nghiệm của (2) thì thỏa (1).
Mọi nghiệm của (1) làm triệt tiêu A và B do đó sẽ làm triệt tiêu $ \alpha A,\beta B,\alpha 'A,\beta 'B $ (với $ \alpha ,\beta ,\alpha ',\beta ' \in R $ và khác 0) nghĩa là làm triệt tiêu các tổng $ \alpha A + \beta B $ và $ \alpha 'A + \beta 'B $ .
Vậy nghiệm của (1) thỏa (2).
Từ (2), ta có: $ (\alpha A + \beta B)\beta ' - (\alpha 'A + \beta 'B)\beta = (\alpha \beta ' - \beta \alpha ')A = 0 $ (a)
và $ - (\alpha A + \beta B)\alpha ' + (\alpha 'A + \beta 'B)\alpha = (\alpha \beta ' - \beta '\alpha )B = 0 $ (b)
Điều này chứng tỏ: mọi nghiệm của (2) làm triệt tiêu các tổng $ \alpha A + \beta B $ và $ \alpha 'A + \beta 'B $ sẽ làm triệt tiêu các vế trái các phương trình (a) và (b) và vì $ \alpha \beta ' - \beta \alpha ' \ne 0, $ do đó sẽ làm triệt tiêu A và B, nghĩa là thỏa (1)

Bài 102373

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102373

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan