Bài 102362

Question

Cho tam giác $ABC$ có $max(A,B,C)>\frac{\pi }{3}$
Về phía ngoài các cạnh $AB,AC,BC$ dựng $3$ hình vuông $ABED,BCGF,ACHI$.
CMR $ABC$ là tam giác vuông cân khi và chỉ khi $D,E,F,G,H,I$ cùng nằm trên $1$ đường tròn

score 0 · Answer 1

Theo giả thiết suy ra $ABC$ không phải tam giác đều
Phần cần là hiển nhiên, vì thế ta chỉ cần chứng minh phần đủ
Giả sử $D,E,F,G,H,I$ cùng nằm trên $1$ đường tròn
Vì trung trực của $DE,GF,HI$ cũng tương ứng là trung trực của $AB,BC,AC$,vì thế tâm của đường tròn ngoại tiếp qua $6$ điểm trên trùng với tâm đường tròn ngoại tiêp $O$ của tam giác $ABC$
Kẻ $OMN$ là trng trực của $AC$
($M \in AC,N \in IH$),ta có :
     $OM = AO.c{\rm{os}}\widehat {AOM} = R\cos B$
($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ )
Ta có $ON = OM + MN = R\cos B + 2R\sin B = R(\cos B + 2\sin B)$
Vậy $O{I^2} = O{N^2} + N{I^2} = {R^2}{(\cos B + 2\sin B)^2} + {R^2}{\sin ^2}B$ (vì $IN = \frac{b}{2} = R\sin B$)
     $ = {R^2}\left[ {{{(\cos B + 2\sin B)}^2} + {{\sin }^2}B} \right]$
Tương tự có   $O{D^2} = {R^2}\left[ {{{(\cos C + 2\sin C)}^2} + {{\sin }^2}C} \right]$
Từ $OI=OD$ suy ra   ${(\cos B + 2\sin B)^2} + {\sin ^2}B = {(\cos C + 2\sin C)^2} + {\sin ^2}C$
           $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + 4\sin B\cos B + 4{\sin ^2}B = 1 + 4\sin C\cos C + 4{\sin ^2}C\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}B + \sin B\cos B = {\sin ^2}C + \sin C\cos C\\
\Leftrightarrow 1 - c{\rm{os}}2B + \sin 2B = 1 - c{\rm{os}}2C + \sin 2C\\
\Leftrightarrow \sin (2B - \frac{\pi }{4}) = \sin (2C - \frac{\pi }{4})\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
B = C\\
B + C = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.(1)
\end{array}$
Tương tự ta có :
         $\left[ \begin{array}{l}
A = B\\
A + B = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.(2)$ và     $\left[ \begin{array}{l}
A = C\\
A + C = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.(3)$
Do $ABC$ không phải tam giác đều nên từ $(1)(2)(3)$ ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
A + B = \frac{{3\pi }}{4}\\
A + C = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
B = A\\
C + B = \frac{{3\pi }}{4}\\
A + C = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
C = A\\
C + B = \frac{{3\pi }}{4}\\
A + B = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.$
Suy ra
$\left\{ \begin{array}{l}
B = C = \frac{\pi }{4}\\
A = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
B = A = \frac{\pi }{4}\\
C = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
C = A = \frac{\pi }{4}\\
B = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right.$
Ta có $DPCM$

Bài 102362

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102362

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan