Bài 102348

Question

Cho tam giác $ABC$ không có góc tù và thỏa mãn điều kiện:
$\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1$
CMR tam giác $ABC$ vuông cân

score 0 · Answer 1

Không mất tổng quát, giả sử $A=max(A,B,C)$
Từ giả thiết suy ra      $\frac{\pi }{3} \le A \le \frac{\pi }{2}$
Ta có          $\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} = \frac{{\sin A + 2\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}}}{{\cos A + 2\cos \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}}}$
    $ = \frac{{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}}}{{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}}}               (1)$
Với A cố định ($\frac{\pi }{3} \le A \le \frac{\pi }{2}$), xét hàm số sau :
    $f(x) = \frac{{\sin A + 2x\cos \frac{A}{2}}}{{\cos A + 2x\sin \frac{A}{2}}}$ với $0 < x \le 1$
    $f'(x) = \frac{{2\cos \frac{{3A}}{2}}}{{{{(\cos A + 2x\sin \frac{A}{2})}^2}}}                   (2)$
Vì $\frac{\pi }{3} \le A \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{\pi }{2} \le \frac{{3A}}{2} \le \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow c{\rm{os}}\frac{{3A}}{2} \le 0$
Do đó $f'(x) \le 0\forall 0 < x \le 1 \Rightarrow f(x) \le f(1)\forall 0$
Vì $0 < c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} \le 1$ và $f(1) = \frac{{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}}}{{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}}}$,nên từ $(1)$ suy ra :
              $\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \le \frac{{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}}}{{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}}}                        (3)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $B=C$
Bây giờ xét hàm số    $g(A) = \frac{{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}}}{{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}}}$ với $\frac{\pi }{2} \le A \le \frac{\pi }{3}$
$g'(A) = \frac{{\sin \frac{{3A}}{2} - 1}}{{{{(\cos A + 2\sin \frac{A}{2})}^2}}} \le 0$
Vậy $g(A$) là hàm nghịch biến trên $\left[ {\frac{\pi }{3}.\frac{\pi }{2}} \right]$,do đó
    $g(A) \ge g(\frac{\pi }{2}) = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
     $\Rightarrow \frac{{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}}}{{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}}} \ge 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}                              (4)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $A = \frac{\pi }{2}$
Từ $(3) (4)$ ta có   $\frac{{\sin A + \sin B + \sin C}}{{\cos A + \cos B + \cos C}} \ge 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}                      (5)$
Dâu “$=$” xảy ra khi $B=C,A = \frac{\pi }{2}$
Từ giả thiết suy ra trong ($5$) có dấu “$=$”, từ đó suy ra (đpcm)

Bài 102348

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102348

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan