|
|
Ta có $\frac{{{a^2}(b + c) + {b^2}(a + c)}}{{abc}} = \frac{{c({a^2} + {b^2}) + ab(a + b)}}{{abc}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + \frac{{a + b}}{c} (1)$
Áp dụng định lý hàm số cosin, ta có ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$
Nên từ ($1$) ta có $\frac{{{a^2}(b + c) + {b^2}(a + c)}}{{abc}} = \frac{{{c^2}}}{{ab}} + 2\cos C + \frac{{a + b}}{c} (2)$
Từ ($2)$ suy ra $\frac{{{a^2}(b + c) + {b^2}(a + c)}}{{abc}} \ge \frac{{{c^2}}}{{ab}} + 2\cos C + \frac{{2\sqrt {ab} }}{c} (3)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b$
BỔ ĐỀ: Trong tam giác $ABC$ mà $c=max(a,b,c)$ thì :
$\frac{{{c^2}}}{{ab}} + \frac{{2\sqrt {ab} }}{c} \ge 2 - 2\cos C + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Thật vậy, do ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C \ge 2ab - 2ab\cos C$
$ \Rightarrow {c^2} \ge 2ab(1 - \cos C)$
$ \Rightarrow \frac{c}{{\sqrt {ab} }} \ge \sqrt {2(1 - \cos C)} (4)$
Vì $c = m{\rm{ax}}(a,b,c) \Rightarrow C = m{\rm{ax}}(A,B,C) \Rightarrow C \ge \frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos C \le \frac{1}{2}$
Do đó, từ ($4$) suy ra $\sqrt {2(1 - \cos C)} \ge 1 (5)$
Xét hàm số $f(x) = {x^2} + \frac{2}{x}$ với $x \ge 1$
$f'(x) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \ge 1$
Do đó hàm số đồng biến khi $x \ge 1$, vì thế từ $(4)$ và ($5$),ta có
$f(\frac{c}{{\sqrt {ab} }}) \ge f(\sqrt {2(1 - \cos C)} )$
$ \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{{ab}} + \frac{{2\sqrt {ab} }}{c} \ge 2(1 - \cos C) + \frac{2}{{\sqrt {2(1 - \cos C)} }}$
$\Rightarrow \frac{{{c^2}}}{{ab}} + \frac{{2\sqrt {ab} }}{c} \ge 2 - 2\cos C + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}} (6)$
Dấu “$=”$ trong ($6)$ xảy ra khi $a=b$
BỔ ĐỀ được chứng minh.
Bây giờ từ $(3)$ và ($6$) có $\frac{{{a^2}(b + c) + {b^2}(a + c)}}{{abc}} \ge 2 + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}} (7)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b$
Vì $\frac{\pi }{3} \le C \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{\pi }{6} \le \frac{C}{2} \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow \sin \frac{C}{2} \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
Do đó $2 + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}} \ge 2 + \sqrt 2 (8)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $C = \frac{\pi }{2}$
Từ $(7)(8)$ suy ra $\frac{{{a^2}(b + c) + {b^2}(a + c)}}{{abc}} \ge 2 + \sqrt 2 (9)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $a=b$,$C = \frac{\pi }{2}$
Từ giả thiết suy ra trong $(9$) xảy ra dấu “$=$”, từ đó suy ra (đpcm)
|