|
|
Áp dụng công thức: cos2A+cos2B+cos2C=3−(sin2A+sin2B+sin2C)
=3−(2+2cosAcosBcosC)=1−2cosAcosBcosC
Suy ra 1−2cosAcosBcosC≥1⇒cosAcosBcosC≤0
⇒max(A,B,C)≥π2
Không mất tổng quát, giả sử max(A,B,C)=A≥π2
Ta thấy cosA+cosB+cosC=√2
⇔1−2sin2A2+2cosB+C2cosB−C2=√2⇔1−2sin2A2+2sinA2cosB−C2=√2
⇔2sin2A2−2sinA2cosB−C2+√2−1=0(1)
Ta có :
2sin2A2−2sinA2cosB−C2+√2−1≥2sin2A2−2sinA2−1(2)
Dấu “=” xảy ra khi B=C
Lại thấy :
2sin2A2−2sinA2+√2−1=2(sinA2−√22)[sinA2−(1−√22](∗)
Vì π>A≥π2⇒π2>A2≥π4⇒sinA2≥√22⇒sinA2>1−√22
Vì thế từ (∗) suy ra 2sin2A2−2sinA2+√2−1≥0(3)
Dấu “=” trong (3) xảy ra khi sinA2=√22⇔A=π2
Từ (2)(3) ta có 2sin2A2−2sinA2cosB−C2+√2−1≥0(4)
Dấu “=” trong (4) xảy ra khi có dấu “=” trong (2) và (3), tức B=C,A = \frac{\pi }{2}
Theo (1) thì trong (4) có dấu “+”, từ đó suy ra (đpcm)
Nhận xét:
Ta có bài toán tương tự:
Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ điều kiện
\left\{ \begin{array}{l} c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1\\ \sin A + \sin B + \sin C = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.
CMR tam giác ABC vuông cân
Ta có c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge - 1
\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + c{\rm{os}}2A + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A + 2\cos (B + C)c{\rm{os}}(B - C) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\cos A\left[ {\cos A - c{\rm{os}}(B - C)} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow - 4\cos A\cos B\cos C \ge 0\\ \Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C \le 0\\ \Leftrightarrow m{\rm{ax}}(A,B,C) \ge \frac{\pi }{2} \end{array}
Không mất tổng quát, giả sử A \ge \frac{\pi }{2}
Ta có \sin A + \sin B + \sin C = \sin A + 2\sin \frac{{B + C}}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2} = \sin A + 2\cos \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{{B - C}}{2}
Vì thế suy ra \sin A + \sin B + \sin C \le \sin A + 2\cos \frac{A}{2} (5)
Dấu”=” trong (5) xảy ra khi B=C
Do \pi > A \ge \frac{\pi }{2} \Rightarrow 2\cos \frac{A}{2} \le \sqrt 2
Vậy \sin A + 2\cos \frac{A}{2} \le \sqrt 2 + 1 (6)
Dâu “=” trong (6) xảy ra khi
\left\{ \begin{array}{l} \sin A = 1\\ c{\rm{os}}\frac{A}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow A = \frac{\pi }{2}
Từ (5)(6) suy ra \sin A + \sin B + \sin C \le \sqrt 2 + 1 (7)
Dấu “=” trong (7) xảy ra khi B=C, A = \frac{\pi }{2}
Từ (7) và giả thiết suy ra có dấu “=” ,từ đó suy ra (đpcm)
Nhận xét được chứng minh.
|