|
|
Theo nguyên lý Dirichle, trong mọi tam giác ABC luôn tồn tại 2 góc hoặc >600 hoặc <600. Không mất tổng quát, giả sử 2 góc đó là A,B
Ta có: (cosA+cosB+cosC)2−(sin2A+sin2B+sin2C)
=(cos2A−sin2A)+(cos2B−sin2B)
+(cos2C−sin2C)+2cosAcosB+2cosBcosC+2cosAcosC
=3−2(sin2A+sin2B+sin2C)+2cosBcosC
+2cosCcosA+cos(A−B)−cosC
Áp dụng công thức sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC, ta có :
(cosA+cosB+cosC)2−(sin2A+sin2B+sin2C)
=−1−4cosAcosBcosC+2cosBcosC
+2cosCcosA+cos(A−B)−cosC
=[cos(A−B)−1]−cosC(4cosAcosB+1−2cosB−2cosA)
(cosA+cosB+cosC)2≤sin2A+sin2B+sin2C(1)
Rõ ràng ta có cos(A−B)−1≤0(2)
Vì max(A,B,C)≤π2⇒C≤π2⇒cosC≥0(3)
Do A và B đồng thời >π3 hoặc <π3,do vậy
(1−2cosA)(1−2cosB)≥0(4)
Từ (1)(2)(3)(4) ta có :
[cos(A−B)−1]−cosC(1−2cosB)(1−2cosA)≤0
Hay (cosA+cosB+cosC)2≤sin2A+sin2B+sin2C(5)
Dấu “=” trong (5) xảy ra khi:
{cos(A−B)=1[cosC=0cosA=12cosB=12⇔{A=B[C=π2A=π3B=π3
Để ý rằng nếu A=B=π3⇒C=π3⇒max(A,B,C)=π3 ( trái giả thiết )
Vì vậy dấu “=” trong (5) xảy ra khi A=B,C=π2
Từ đó suy ra dpcm
Nhận xét :
Ta đưa ra dạng hình học cho bài toán trên
Cho tam giác ABC mà π3<max(A,B,C)≤π2 và thỏa mãn điều kiện
(AH+BH+CH)2=a2+b2+c2
ở đây H là trực tâm. CMR ABC là tam giác vuông cân
Thật vậy :
Do tam giác ABC không có góc tù nên ta có :
AH=2RcosABH=2RcosBCH=2RcosC
Từ đó suy ra (AH+BH+CH)2=a2+b2+c2
⇔(cosA+cosB+cosC)2=sin2A+sin2B+sin2C
Nhận xét được chứng minh.
|