Bài 102274

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{{2 - \cos2A}} + \frac{1}{{2 + \cos2B}} + \frac{1}{{2 + \cos2C}} \ge \frac{6}{5}$
Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân với góc ở đỉnh $A = {120^0}$

score 0 · Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
($\frac{1}{{2 - c{\rm{os}}2A}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os}}2B}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os}}2C}}$)$\left[ {(2 - c{\rm{os}}2A0 + (2 + c{\rm{os}}2B) + (2 + c{\rm{os}}2C)} \right]\ge 9$
$\Rightarrow \frac{1}{{2 - c{\rm{os}}2A}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os}}2B}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os}}2C}} \ge \frac{9}{{6 + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C - c{\rm{os}}2A}}             (1)$
Dấu $“=”$ xảy ra ở ($1$) khi $cos2B=cos2C=-cos2A                                              (2)$
Ta có :
$Cos2B+cos2C-cos2A=2cos(B+C)cos(B-C)-2cos2A+1$
                                    $=-2cos2A-2cosAcos(B-C)+1$
                                    $\begin{array}{l}
= - 2\left[ {c{\rm{os}}2A - \cos Ac{\rm{os}}(B - C)} \right] + 1\\
= - 2{\left[ {\cos A + \frac{1}{2}c{\rm{os}}(B - C)} \right]^2} + \frac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}(B - C) + 1
\end{array}$
$ \Rightarrow c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C - c{\rm{os}}2A \le \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow 6 + c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C - c{\rm{os}}2A \le \frac{{15}}{2}                                                           (3)$
Dấu $“=”$ trong $(3)$ xảy ra khi
                                         $\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}(B - C) = 1\\
\cos A + \frac{1}{2}c{\rm{os}}(B - C) = 0
\end{array} \right.                                      (4)$
Từ ($1)(3$)suy ra : $\frac{1}{{2 - c{\rm{os}}2A}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os}}2B}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os}}2C}} \ge \frac{6}{5}                          (5)$
Dấu $“=”$ trong $(5)$ xảy ra khi có dấu $“=”$ ở $(1)$ và $(3)$, tương đương có $(2)(4)$
Khi đó :
               $\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}(B - C) = 1\\
c{\rm{os}}2B = c{\rm{os}}2C = - c{\rm{os}}2A\\
\cos A = \frac{{ - 1}}{2}c{\rm{os}}(B - C)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
A = {120^0}
\end{array} \right.$
Từ giả thiết suy ra trong $(5)$ có dấu $“=”$. Vậy theo lập luận trên ta có (đcpm).

Bài 102274

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102274

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan