Bài 102265

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức: $\cos2A + \sqrt 3 (\cos 2B + \cos 2C) + \frac{5}{2} = 0$
Chứng minh rằng: $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$, với $A={30^0}$

score 0 · Answer 1

Đưa hệ thức về dạng tương đương sau
          $2{\cos ^2}A - 1 + 2\sqrt 3 c{\rm{os}}(B + C)c{\rm{os}}(B - C) + \frac{5}{2} = 0$
       $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}A - 2\sqrt 3 \cos Ac{\rm{os}}(B - C) + \frac{3}{2} = 0\\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A - \sqrt 3 \cos A\cos (B - C) + \frac{3}{4} = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {\cos A - \frac{{\sqrt 3 }}{2}c{\rm{os}}(B - C)} \right]^2} + \frac{3}{4}{\sin ^2}(B - C) = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin (B - C) = 0\\
\cos A - \frac{{\sqrt 3 }}{2}c{\rm{os}}(B - C) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
\cos A = \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
A = {30^0}
\end{array} \right.
\end{array}$
Ta có (đpcm)
Nhận xét
$1/$ Ta có bài toán tổng quát sau
   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức sau :
                   $c{\rm{os}}2A + x(c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C) + \frac{{{x^2}}}{2} + 1 = 0$,với $\left| x \right| < 2,x\neq 0$
Khi đó $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$ với $A=\arccos \frac{x}{2}$
Thật vậy, đưa hệ thức cề dạng tương đương sau :
                      $2{\cos ^2}A + 2x\cos (B + C)c{\rm{os}}(B - C) + \frac{{{x^2}}}{2} = 0$
                   $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}A - x\cos Ac{\rm{os}}(B - C) + \frac{{{x^2}}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow {\left[ {\cos A - \frac{{x\cos (B - C)}}{2}} \right]^2} + \frac{{{x^2}{{\sin }^2}(B - C)}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\sin (B - C) = 0(1)\\
\cos A - \frac{{x\cos (B - C)}}{2} = 0(2)
\end{array} \right.
\end{array}$
Từ $(1)$ và do $x \neq0$ nên $sin(B-C)=0$ suy ra $B=C$
Thay vào $(2)$ có $\cos A = \frac{x}{2} \Rightarrow A = \arccos \frac{x}{2}$
$2/$ Lấy $x=-1$, ta có kết quả :
   Tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức :
                  $c{\rm{os}}2A - c{\rm{os}}2B - c{\rm{os}}2C + \frac{3}{2} = 0$
Thì tam giác cân với góc ở đỉnh =${120^0}$
$3/$ Lấy $x = \sqrt 2 $, ta có kết quả :
   Nếu tam giác $ABC$ thỏa mãn: $c{\rm{os}}2A + \sqrt 2 (c{\rm{os}}2B + c{\rm{os}}2C) + 2 = 0$
Thì tam giác cân với góc ở đỉnh = ${45^0}$

Bài 102265

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102265

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan