Bài 102249

Question

Cho tam giác $ABC$ có $A \ge {90^0}$ và thỏa mãn điều kiện
$tanBtanC - 2\cot A = 1$
CMR : tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân đỉnh $A$

score 0 · Answer 1

Vì $A \ge {90^0} \Rightarrow B + C \le {90^0} \Rightarrow c{\rm{os}}(B + C) \ge 0$. Do vậy thực hiện tính toán như đã làm trong các bài trên, ta có : $tanBtanC \le \cot {^2}\frac{A}{2}                                (*)$
Dấu $‘=”$ xảy ra khi $cos(B-C)=1$
Từ đó ta thấy :      $tanBtanC - 2\cot A \le \cot {^2}\frac{A}{2} - 2\cot A   (1)$
Do $\cot A = \frac{1}{{tanA}} = \frac{{1 - t{an^2}\frac{A}{2}}}{{2tan\frac{A}{2}}} = \frac{1}{2}(\frac{{\cot {^2}\frac{A}{2} - 1}}{{\cot \frac{A}{2}}})$
Vì thế từ $(1)$ ta có
    $tanBtanC - 2\cot A \le \cot {^2}\frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2} - \frac{1}{{\cot \frac{A}{2}}}             (2)$
Do $A \ge {90^0} \Rightarrow 0 < \frac{A}{2} \le {45^0} \Rightarrow 0 < \cot \frac{A}{2} \le 1$
Xét hàm số    $f(x) = {x^2} + x - \frac{1}{x} ( 0 < x \le 1$
                        $f'(x) = {x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0,   (0 < x \le 1)$
Từ đó suy ra với mọi $A \ge {90^0}$,thì :
       $\cot {^2}\frac{A}{2} + \cot \frac{A}{2} - \frac{1}{{\cot \frac{A}{2}}} \le f(1) = 1               (3)$
Từ $(2)(3)$ suy ra   $tanBtanC - 2\cot A \le 1                                 (4)$
Dấu $“=” $ tong $(4)$ xảy ra khi có dấu $“=”$ xảy ra ở $(*)$ và $(3)$
                $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}(B - C) = 1\\
\cot \frac{A}{2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow $ tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $A$
Đó là (đpcm)

Bài 102249

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102249

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan