Bài 102238

Question

Cho tam giác $ABC$ cân đỉnh $A$, có $B = C = 2\alpha $, đường cao $AH$, $d$ là đường thẳng song song với $BC$ qua $A$. Đoạn $PQ=l$ đi qua trung điểm $M$ của $AH$, với $P$ thuộc thẳng $BC, Q$ thuộc $d$. Biết rằng $PQ$ tạo với $AH$ góc nhọn $\beta $. Giả sử $PQ$ cắt $AB,AC$ tại $R,S$.
Chứng minh rằng : $RS = \frac{{ - l\sin 2\beta \sin 4\alpha }}{{4\cos (2\alpha + \beta )\cos (2\alpha - \beta )}}$

score 0 · Answer 1

Từ $MA=MH \Rightarrow MP = MQ = \frac{l}{2}$
TA có :
                       $\begin{array}{l}
= \beta - ({90^0} - 2\alpha )\\
= \beta + 2\alpha - {90^0}
\end{array}$
Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác $ARM$, ta có:
     $\frac{{MA}}{{\sin (\beta + 2\alpha - {{90}^0})}} = \frac{{MR}}{{\sin ({{90}^0} - 2\alpha )}} \Rightarrow MR = \frac{{MA\cos 2\alpha }}{{ - c{\rm{os}}(2\alpha + \beta )}}$
Do $MA = MQ\cos \beta = \frac{l}{2}c{\rm{os}}\beta \Rightarrow MR = - \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{{2\cos (2\alpha + \beta )}}                              (1)$
Lại áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác $AMS$,ta có:
       $\frac{{MS}}{{\sin ({{90}^0} - 2\alpha )}} = \frac{{AM}}{{\sin (\beta + {{90}^0} - 2\alpha )}} \Rightarrow MS = \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{{2\cos (\beta - 2\alpha )}}                    (2)$
Từ $(1)(2)$ ta có :
    $RS = MR + MS = \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{2}\left[ {\frac{1}{{c{\rm{os}}(\beta - 2\alpha )}} - \frac{1}{{c{\rm{os}}(2\alpha + \beta )}}} \right]$
                             $ = \frac{{l\cos 2\alpha c{\rm{os}}\beta }}{{2\cos (2\alpha + \beta )c{\rm{os}}(2\alpha - \beta )}}( - 2\sin 2\alpha \sin \beta )$
                             $ = \frac{{ - l\sin 2\beta \sin 4\alpha }}{{4\cos (2\alpha + \beta )c{\rm{os}}(2\alpha - \beta )}}$
Đó là (đpcm)

Bài 102238

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102238

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan