|
|
Không mất tổng quát, giả sử $\frac{\pi }{2} \ge A \ge \frac{\pi }{3} \ge B \ge C$
Ta có $R \le (1 + \sqrt 3 )r \Leftrightarrow \frac{r}{R} \ge \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \frac{r}{R} \ge \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }}\\
\Leftrightarrow 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \ge \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C \ge \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} (1)$
Ta sẽ chứng minh $\cos A + \cos B + \cos C \ge \sin C + \cos C (2)$
Thật vậy $(2) \Leftrightarrow \cos A + \cos B \ge \sin C$
$ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} \ge 2\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}$
$ \Leftrightarrow c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} \ge c{\rm{os}}\frac{C}{2} (3)$
Vì $A \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow A \le B + C \Rightarrow A - B \le C$
Do $A \ge B \Rightarrow 0 \le \frac{{A - B}}{2} \le \frac{C}{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} \ge c{\rm{os}}\frac{C}{2}$
Vậy $(3)$ đúng suy ra $(1)$ đúng
Do $B + C \ge \frac{\pi }{2},B \le \frac{\pi }{3} \Rightarrow C \ge \frac{\pi }{6}$
Như vậy ta có $\frac{\pi }{6} \le C \le \frac{\pi }{3}$
Vì thế từ $\sin C + \cos C = \sqrt 2 c{\rm{os}}(C - \frac{\pi }{4});\frac{{ - \pi }}{{12}} \le C - \frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{{12}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow c{\rm{os}}(C - \frac{\pi }{4}) \ge c{\rm{os}}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}\\
\Rightarrow \sin C + \cos C \ge \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}
\end{array}$
Dễ thấy $\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin C + \cos C \ge \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} (4)$
Từ $(2)(4)$ ta có $\cos A + \cos B + \cos C \ge \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}$
Vậy $(2)$ đúng ,ta có $dpcm$
Dấu $“=”$ xảy ra khi $A = \frac{\pi }{2},B = \frac{\pi }{3},C = \frac{\pi }{6}$
Nhận xét :
$1/$ Điều kiện có $2$ góc không vượt quá $\frac{\pi }{3}$ là cần thiết. Thật vậy, theo bài $263$, khi xét tam giác $ABC$ với $B = C = \arccos \frac{{3 - \sqrt 3 }}{6}$
Do $\frac{{3 - \sqrt 3 }}{6} < \frac{1}{2} \Rightarrow B = C > \frac{\pi }{3}$
Như đã biết với tam giác này, ta có: $R = 3r \Leftrightarrow R > (\sqrt 3 + 1)r$
Nhận xét $1$ được chứng minh
$2/$ Điều kiện $m{\rm{ax}}(A,B,C) \le \frac{\pi }{2}$ cũng là cần thiết
Thật vậy,theo bài $263$,khi xét tam giác $ABC$ với $B = C = \arccos \frac{{3 + \sqrt 3 }}{6}$
Do $\frac{{3 + \sqrt 3 }}{6} > \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow B = C < \frac{\pi }{4} \Rightarrow A > \frac{\pi }{2}$
Nhận xét $2$ được chứng minh
Như vậy giả thiết bài toán cho là hợp lý
|