Bài 102168

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện trên cạnh $AB$ tồn tại điểm $D$ sao cho :
$C{D^2} = AD.BD$. CMR $\sin A\sin B \le {\sin ^2}\frac{C}{2}$

score 0 · Answer 1

Giả sử tồn tại điểm $D$ sao cho
                    $C{D^2} = AD.DB          (1)$
Theo định lý hàm số cosin trong các tam giác $ACD$ và $BCD$,ta có
      $\begin{array}{l}
\frac{{CD}}{{\sin A}} = \frac{{AD}}{{\sin {C_1}}}( = )\\
\frac{{CD}}{{\sin B}} = \frac{{DB}}{{\sin {C_2}}}( = )
\end{array}$
Từ đó suy ra $\frac{{C{D^2}}}{{\sin A\sin B}} = \frac{{AD.DB}}{{\sin {C_1}\sin {C_2}}}    (2)$
Từ $(1)(2)$ suy ra        $\sin A\sin B = \sin {C_1}\sin {C_2}                     (3)$
Do $\sin {C_1} > 0,\sin {C_2} > 0$,theo bất đẳng thức Cosi.ta có
                              $\sqrt {\sin {C_1}\sin {C_2}} \le \frac{{\sin {C_1} + \sin {C_2}}}{2}$
            $ \Rightarrow \sin {C_1}\sin {C_2} \le {\sin ^2}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \le {\sin ^2}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} = {\sin ^2}\frac{C}{2}      (4)$
Từ $(3)(4)$ ta có $\sin A\sin B \le {\sin ^2}\frac{C}{2}$
Đó là $dpcm$
Dấu $“=”$ xảy ra khi thỏa mãn $C{D^2} = AD.BD$ và $DC$ là phân giác trong góc $C$

Chú ý rằng khi $CD$ là phân giác trong góc $C$ thì
     $CD = \frac{{2ab\cos \frac{C}{2}}}{{a + b}}$
$ \Rightarrow C{D^2} = \frac{{4{a^2}{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{C}{2}$=$\frac{{2{a^2}{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}(1 + \cos C)$
              =$\frac{{2{a^2}{b^2}}}{{{{(a + b)}^2}}}(1 + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}})$
   $ \Rightarrow C{D^2} = \frac{{ab}}{{{{(a + b)}^2}}}\left[ {{{(a + b)}^2} - {c^2}} \right] = \frac{{4abp(p - c)}}{{{{(a + b)}^2}}}$
Theo định lý về đường phân giác trong, ta có:
          $\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{{AD}}{c} = \frac{b}{{a + b}} \Rightarrow AD = \frac{{bc}}{{a + b}}$
Tương tự ta có :        $DB = \frac{{ac}}{{a + b}}$
Vì thế, điều kiện để xảy ra dấu $“=”$ tương đương với điều kiện sau:
                             $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{4abp(p - c)}}{{{{(a + b)}^2}}} = \frac{{bc}}{{a + b}}\frac{{ac}}{{a + b}}\\
\Leftrightarrow 4p(p - c) = {c^2}\\
\Leftrightarrow (a + b + c)(a + b - c) = {c^2}\\
\Leftrightarrow {(a + b)^2} - {c^2} = {c^2}\\
\Leftrightarrow a + b = \sqrt 2 c
\end{array}$
Vậy dấu $“=”$ xảy ra khi $a + b = \sqrt 2 c$
Nhận xét :

$1/$ Lớp tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện hình học nêu trên là khác rỗng. $1$ trong số chúng là tam giác vuông tại $C$. Thật vậy,kẻ $CH \bot AB$, theo hệ thức lượng trong tam giác,ta có
$C{H^2} = HA.HB$
$2/$ $1$ trong những các lớp tam giác thỏa mãn đẳng thức $sin A\sin B = {\sin ^2}\frac{C}{2}$ là lớp tam giác vuông cân đỉnh $C$

Bài 102168

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102168

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan