Bài 102145

Question

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện :
$S = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\cos A\cos B\cos C$
CMR $\frac{{tan\frac{A}{2}}}{{{m_a}}} + \frac{{tan\frac{B}{2}}}{{{m_b}}} + \frac{{tan\frac{C}{2}}}{{{m_c}}} \ge \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết suy ra $\cos A\cos B\cos C > 0 \Rightarrow ABC$ là tam giác nhọn
Áp dụng công thức $S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C$, nên từ giả thiết ta có
                            $2{R^2}\sin A\sin B\sin C = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\cos A\cos B\cos C$
                        $ \Rightarrow tanAtanBtanC = \frac{{3\sqrt 3 }}{{4{R^2}}}                                             (1)$
Do $A,B,C$ nhọn nên theo bất đẳng thức Cosi ,ta có
$1 = \cot A\cot B + \cot B\cot C + \cot C\cot A \ge 3\sqrt[3]{{\cot {^2}A\cot {^2}B\cot {^2}C}}$
                                 $\begin{array}{l}
\Rightarrow \cot {^2}A\cot {^2}B\cot {^2}C \le \frac{1}{{27}}\\
\Rightarrow tan^2Atan^2Btan^2C \ge 27
\end{array}$
                                 $ \Rightarrow tanAtanBtanC \le 3\sqrt 3                                  (2)$
Từ $(1)(2)$ có $\frac{{3\sqrt 3 }}{{4{R^2}}} \le 3\sqrt 3 \Rightarrow R \le \frac{1}{2}                                           (3)$
Không mất tổng quát ,giả sử $A \ge B \ge C$,khi đó :
                                    $\left\{ \begin{array}{l}
tan\frac{A}{2} \ge tan\frac{B}{2} \ge tan\frac{C}{2}\\
{m_a} \le {m_b} \le {m_c}
\end{array} \right.$
Áp dụng bất đẳng thức Trebusep,ta có :
$(\frac{{tan\frac{A}{2}}}{{{m_a}}} + \frac{{tan\frac{B}{2}}}{{{m_b}}} + \frac{{tan\frac{C}{2}}}{{{m_c}}}) \ge \frac{1}{3}(tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2})(\frac{1}{{{m_a}}} + \frac{1}{{{m_b}}} + \frac{1}{{{m_c}}})   (4)$
Theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác thì
                             $\left\{ \begin{array}{l}
tan\frac{A}{2} + tan\frac{B}{2} + tan\frac{C}{2} \ge \sqrt 3 \\
\frac{1}{{{m_a}}} + \frac{1}{{{m_b}}} + \frac{1}{{{m_c}}} \ge \frac{2}{R}
\end{array} \right.                              (5)$
Từ $(4)(5)$ suy ra    $\frac{{tan\frac{A}{2}}}{{{m_a}}} + \frac{{tan\frac{B}{2}}}{{{m_b}}} + \frac{{tan\frac{C}{2}}}{{{m_c}}} \ge \frac{{2\sqrt 3 }}{{3R}}                           (6)$
Từ $(5)(6)$ suy ra    $\frac{{tan\frac{A}{2}}}{{{m_a}}} + \frac{{tan\frac{B}{2}}}{{{m_b}}} + \frac{{tan\frac{C}{2}}}{{{m_c}}} \ge \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
Ta có (đpcm)

Bài 102145

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102145

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan