Bài 102140

Question

Cho tam giác $ABC$ có $min ({m_a},{m_b},{m_c}) > max ({h_a},{h_b},{h_c})$
Chứng minh rằng: $\left\{ \begin{array}{l}
max (A,B,C) > {150^0}\\
min (A,B,C) < {5^0}30'
\end{array} \right.$

score 0 · Answer 1

$1/$ không mất tổng quát, giả sử $A \ge B \ge C$

    Gọi $A_1$ là trung điểm của $BC$
Kẻ ${A_1}D \bot AB \Rightarrow {A_1}D = \frac{1}{2}{h_c} \Rightarrow {A_1}D < \frac{1}{2}{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}$
Do $AC>AB$ nên trung tuyến ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1}$ ở gần $AC$ hơn so với phân giác trong cua $A$ ,nên $ > \frac{1}{2}$
Vì $ = A \ge {60^0} \Rightarrow = {30^0}$
Ta có :$\sin = \sin = \frac{{{A_1}D}}{{{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}}} < \frac{1}{2}$
Vì : $> {30^0},\sin < \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow > {150^0} \Rightarrow > {150^0}$
$ \Rightarrow m{\rm{ax}}(A,B,C) > {150^0}$
$ 2/$ Lấy trên $AB$ điểm $E$ sao cho $EA+AB=a$. Vẽ qua $E$ đoạn thẳng tạo với $AB 1$ góc ${150^0}$
( $ = {150^0}$).Kẻ ${\rm{AA}}_1^'//{C_1}E \Rightarrow A_1^'$ là trung điểm của ${C_1}B$. Vẽ đường tròn qua $AB$ và tiếp xúc với đường thẳng qua $E$ nói trên tại ${C_1}$
Ta có $ = > {150^0}$
$ \Rightarrow > \Rightarrow < = \partial = - = \alpha - \beta $
Ta có ${C_1}{E^2} = EA.EB = 2{a^2} \Rightarrow {C_1}E = a\sqrt 2 $
Kẻ ${C_1}F \bot AB \Rightarrow $
            $\begin{array}{l}
tan\alpha = \frac{{{C_1}F}}{{FA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2(\frac{{\sqrt 6 }}{2} + 1)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}\\
tan\beta = \frac{{{C_1}F}}{{FB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + 4}}\\
\Rightarrow tan\partial = \frac{{tan\alpha - tan\beta }}{{1 + tan\alpha tan\beta }} = \frac{{4\sqrt 2 - 3\sqrt 3 }}{5}
\end{array}$
Do $0 < \partial < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \partial < tan\partial $. Vậy ta chỉ cần chứng minh $tan\partial < \frac{\pi }{{180}}.\frac{{11}}{2}$
Thật vậy $\frac{\pi }{{180}}.\frac{{11}}{2} > \frac{{3,14}}{{180}}.\frac{{11}}{2} > 0,095$
$\frac{{4\sqrt 2 - 3\sqrt 3 }}{5} < \frac{{4.1,414 - 3.1,731}}{5} < 0,0094 \Rightarrow$ ĐPCM

Bài 102140

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102140

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan